Considerando o erro
=10^{-4}. Use o método da Falsa Posição para obter a menor raiz positiva de:
\frac{x}{2}-\operatorname{tg}(x)=0
=10^{-4}. Use o método da Falsa Posição para obter a menor raiz positiva de:
\frac{x}{2}-\operatorname{tg}(x)=0
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pedem: usar o método da Falsa Posição (regula falsi) para obter a menor raiz positiva da equação
- Informação sobre erro: o erro tolerado é
. Vou interpretar isso como critério de parada na posição da raiz: parar quando a diferença entre duas aproximações sucessivas for menor que . - Observações úteis que vieram do enunciado (implícitas na função):
- A função a estudar é
. -
tem assíntotas verticais em . Por isso a função pode mudar de sinal ao atravessar essas assíntotas. - A raiz
satisfaz , mas não é positiva; então a menor raiz positiva será a próxima raiz maior que zero.
- A função a estudar é
Passo 2
Entendimento do comportamento de
para localizar um intervalo inicial com mudança de sinal (condição necessária para aplicar a Falsa Posição):
- Primeiro, calcule
. Já vimos que é raiz, mas é não-positiva. - Em
: e, para pequeno, e mais precisamente para pequeno; então . Assim não há raiz positiva estritamente entre e . - Em
: (porque cruza a assíntota) e , logo nessa região (imediatamente à direita de e também em ). - Em
: e cresce até próximo de , enquanto é finito; portanto passa de positivo (em ) a negativo (próximo de ), garantindo uma raiz em .
Conclusão: a menor raiz positiva (além de) está no intervalo
Passo 3
Escolha do intervalo inicial e fórmula da Falsa Posição:
- Vou usar
como extremo esquerdo (onde ) e um dentro de onde . Tomei (que fica antes de ). - Definição da função:
- Cálculo de
e :
Para
fazemos
e usamos
(porque
tem período
). Com aproximações (explicito como obtive):
-
. - Aproximei
e por linearização a partir de um ponto próximo (por exemplo ) e obtive . Então
Assim
e
e o intervalo
é válido (troca de sinal).
- Fórmula da Falsa Posição (regula falsi): dada uma iteração com extremos
e com e de sinais opostos, a aproximação por falsa posição é
Critério de parada adotado: parar quando
.
Passo 4
Primeira iteração (k=1):
- Dados iniciais:
-
, . -
, .
-
- Aplicando a fórmula:
Substituindo os números:
- Avaliação de
. Para temos . Aproximei por linearização e obtive . Então
Como
tem o mesmo sinal de
, substituímos
e mantemos
.
Passo 5
Segunda iteração (k=2):
- Novos extremos:
com e com . - Aplicando a fórmula:
(Valores numéricos obtidos pelo mesmo procedimento aritmético mostrado no passo anterior.)
- Avaliação de
. Para temos . Aproximei por linearização a partir de pontos já estimados e obtive . Logo
Ainda positivo, logo atualizo
e mantenho
.
Passo 6
Terceira iteração (k=3):
- Extremos:
com e com . - Fórmula da falsa posição:
- Avaliação de
. Para obteve-se . - Como
, atualizo e mantenho .
Passo 7
Quarta iteração (k=4):
- Extremos:
com e com . - Cálculo:
- Avaliação de
. Para encontrei . - Agora
tem sinal oposto de , logo o novo intervalo é .
Passo 8
Quinta iteração (k=5):
- Extremos:
com e com . - Aplico falsa posição novamente:
- Avaliação de
: cálculo aproximado de dá (positivo e pequeno). Assim atualizo e mantenho .
Passo 9
Sexta iteração (k=6) — critério de parada:
- Extremos:
com e com . - Nova aproximação:
- Diferença entre as últimas duas aproximações:
Portanto o critério de parada
foi satisfeito na iteração 6.
Passo 10
Interpretação final e cuidado com arredondamento:
- A aproximação obtida pelo método da Falsa Posição com critério
é
- Significado prático: essa é a menor raiz positiva (maior que zero) de
distinta de , encontrada com erro na posição menor que . - Se for necessário dar mais casas, pode-se efetuar mais iterações (cada iteração exige avaliar
com maior precisão).