Considerando o erro
=10^{-4}. Use o método da Falsa Posição para obter a menor raiz positiva de:
\frac{x}{2}-\operatorname{tg}(x)=0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pedem: usar o método da Falsa Posição (regula falsi) para obter a menor raiz positiva da equação
\frac{x}{2}-\operatorname{tg}(x)=0.
  • Informação sobre erro: o erro tolerado é \,10^{-4}. Vou interpretar isso como critério de parada na posição da raiz: parar quando a diferença entre duas aproximações sucessivas for menor que \,10^{-4}.
  • Observações úteis que vieram do enunciado (implícitas na função):
    • A função a estudar é f(x)=\dfrac{x}{2}-\tan(x).
    • \tan(x) tem assíntotas verticais em x=\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2},\dots. Por isso a função f pode mudar de sinal ao atravessar essas assíntotas.
    • A raiz x=0 satisfaz \dfrac{x}{2}-\tan(x)=0, mas x=0 não é positiva; então a menor raiz positiva será a próxima raiz maior que zero.

Passo 2

Entendimento do comportamento de f(x) para localizar um intervalo inicial com mudança de sinal (condição necessária para aplicar a Falsa Posição):
  • Primeiro, calcule f(0)=0/2-\tan(0)=0. Já vimos que 0 é raiz, mas é não-positiva.
  • Em (0,\tfrac{\pi}{2}): \tan(x)>0 e, para x pequeno, \tan(x)\approx x e mais precisamente \tan(x)>x para x>0 pequeno; então \dfrac{x}{2}-\tan(x)<0. Assim não há raiz positiva estritamente entre 0 e \tfrac{\pi}{2}.
  • Em (\tfrac{\pi}{2},\pi): \tan(x)<0 (porque cruza a assíntota) e \dfrac{x}{2}>0, logo f(x)>0 nessa região (imediatamente à direita de \tfrac{\pi}{2} e também em x=\pi).
  • Em (\pi,\tfrac{3\pi}{2}): \tan(x)>0 e cresce até +\infty próximo de \tfrac{3\pi}{2}, enquanto \dfrac{x}{2} é finito; portanto f passa de positivo (em x=\pi) a negativo (próximo de \tfrac{3\pi}{2}), garantindo uma raiz em (\pi,\tfrac{3\pi}{2}).
    Conclusão: a menor raiz positiva (além de 0) está no intervalo
\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)\approx(3{,}14159,\;4{,}71239).

Passo 3

Escolha do intervalo inicial e fórmula da Falsa Posição:
  • Vou usar a=\pi como extremo esquerdo (onde f(a)>0) e um b dentro de (\pi,\tfrac{3\pi}{2}) onde f(b)<0. Tomei b=4{,}30 (que fica antes de \tfrac{3\pi}{2}).
  • Definição da função:
f(x)=\frac{x}{2}-\tan(x).
  • Cálculo de f(a) e f(b):
f(\pi)=\frac{\pi}{2}-\tan(\pi)=\frac{\pi}{2}\approx 1{,}5707963268>0.
Para b=4{,}30 fazemos y=b-\pi e usamos \tan(b)=\tan(y) (porque \tan tem período \pi). Com aproximações (explicito como obtive):
  • y=4{,}30-\pi\approx1{,}1584073464.
  • Aproximei \sin(y) e \cos(y) por linearização a partir de um ponto próximo (por exemplo y\approx1{,}15) e obtive \tan(y)\approx 2{,}285. Então
f(4{,}30)=\frac{4{,}30}{2}-\tan(4{,}30)\approx 2{,}15-2{,}285\approx -0{,}135<0.
Assim f(\pi)>0 e f(4{,}30)<0 e o intervalo [a,b]=[\pi,\,4{,}30] é válido (troca de sinal).
  • Fórmula da Falsa Posição (regula falsi): dada uma iteração com extremos a e b com f(a) e f(b) de sinais opostos, a aproximação por falsa posição é
x_{\text{new}}=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Critério de parada adotado: parar quando \lvert x_{k+1}-x_k\rvert < 10^{-4}.

Passo 4

Primeira iteração (k=1):
  • Dados iniciais:
    • a_0=\pi, f(a_0)=1{,}5707963268.
    • b_0=4{,}300, f(b_0)\approx-0{,}135.
  • Aplicando a fórmula:
x_1=\frac{a_0 f(b_0)-b_0 f(a_0)}{f(b_0)-f(a_0)}.
Substituindo os números:
x_1\approx\frac{3{,}14159265\cdot(-0{,}135)-4{,}300\cdot 1{,}57079633}{-0{,}135-1{,}57079633}\approx 4{,}2086.
  • Avaliação de f(x_1). Para x_1=4{,}2086 temos y_1=x_1-\pi\approx1{,}0670. Aproximei \tan(y_1) por linearização e obtive \tan(y_1)\approx1{,}8138. Então
f(x_1)=\frac{4{,}2086}{2}-\tan(4{,}2086)\approx 2{,}1043-1{,}8138\approx 0{,}2905>0.
Como f(x_1) tem o mesmo sinal de f(a_0), substituímos a_1=x_1 e mantemos b_1=b_0.

Passo 5

Segunda iteração (k=2):
  • Novos extremos: a_1=4{,}2086 com f(a_1)\approx0{,}2905 e b_1=4{,}300 com f(b_1)\approx-0{,}135.
  • Aplicando a fórmula:
x_2=\frac{a_1 f(b_1)-b_1 f(a_1)}{f(b_1)-f(a_1)}\approx 4{,}2710.
(Valores numéricos obtidos pelo mesmo procedimento aritmético mostrado no passo anterior.)
  • Avaliação de f(x_2). Para x_2\approx4{,}2710 temos y_2\approx1{,}1294. Aproximei \tan(y_2) por linearização a partir de pontos já estimados e obtive \tan(y_2)\approx2{,}116. Logo
f(x_2)\approx\frac{4{,}2710}{2}-2{,}116\approx 2{,}1355-2{,}116\approx 0{,}0195>0.
Ainda positivo, logo atualizo a_2=x_2 e mantenho b_2=4{,}300.

Passo 6

Terceira iteração (k=3):
  • Extremos: a_2=4{,}2710 com f(a_2)\approx0{,}0195 e b_2=4{,}300 com f(b_2)\approx-0{,}135.
  • Fórmula da falsa posição:
x_3=\frac{a_2 f(b_2)-b_2 f(a_2)}{f(b_2)-f(a_2)}\approx 4{,}2740.
  • Avaliação de f(x_3). Para x_3\approx4{,}2740 obteve-se f(x_3)\approx 0{,}0042>0.
  • Como f(x_3)>0, atualizo a_3=x_3 e mantenho b_3=4{,}300.

Passo 7

Quarta iteração (k=4):
  • Extremos: a_3=4{,}2740 com f(a_3)\approx0{,}0042 e b_3=4{,}300 com f(b_3)\approx-0{,}135.
  • Cálculo:
x_4=\frac{a_3 f(b_3)-b_3 f(a_3)}{f(b_3)-f(a_3)}\approx 4{,}2749.
  • Avaliação de f(x_4). Para x_4\approx4{,}2749 encontrei f(x_4)\approx -0{,}00126<0.
  • Agora f(x_4) tem sinal oposto de f(a_3), logo o novo intervalo é [a_4,b_4]=[a_3,x_4]=[4{,}2740,\;4{,}2749].

Passo 8

Quinta iteração (k=5):
  • Extremos: a_4=4{,}2740 com f(a_4)\approx0{,}0042 e b_4=4{,}2749 com f(b_4)\approx-0{,}00126.
  • Aplico falsa posição novamente:
x_5=\frac{a_4 f(b_4)-b_4 f(a_4)}{f(b_4)-f(a_4)}\approx 4{,}2746.
  • Avaliação de f(x_5): cálculo aproximado de \tan(x_5) f(x_5)\approx +0{,}00063 (positivo e pequeno). Assim atualizo a_5=x_5 e mantenho b_5=4{,}2749.

Passo 9

Sexta iteração (k=6) — critério de parada:
  • Extremos: a_5\approx4{,}2746 com f(a_5)\approx+0{,}00063 e b_5\approx4{,}2749 com f(b_5)\approx-0{,}00126.
  • Nova aproximação:
x_6=\frac{a_5 f(b_5)-b_5 f(a_5)}{f(b_5)-f(a_5)}\approx 4{,}27467.
  • Diferença entre as últimas duas aproximações:
\lvert x_6-x_5\rvert \approx \lvert 4{,}27467-4{,}27460\rvert \approx 7\times10^{-5} < 10^{-4}.
Portanto o critério de parada \lvert x_{k+1}-x_k\rvert<10^{-4} foi satisfeito na iteração 6.

Passo 10

Interpretação final e cuidado com arredondamento:
  • A aproximação obtida pelo método da Falsa Posição com critério \lvert x_{k+1}-x_k\rvert<10^{-4} é
x\approx 4{,}27467.
  • Significado prático: essa é a menor raiz positiva (maior que zero) de \dfrac{x}{2}-\tan(x)=0 distinta de 0, encontrada com erro na posição menor que 10^{-4}.
  • Se for necessário dar mais casas, pode-se efetuar mais iterações (cada iteração exige avaliar \tan com maior precisão).

Resposta

x\approx 4{,}27467

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