(Competição da Olimpíada de matemática da Hungria - modificada) O valor da expressão \cos \left(\frac{\pi}{15}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{15}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{15}\right) \cos \left(\frac{4 \pi}{15}\right) \cos \left(\frac{5 \pi}{15}\right) \cos \left(\frac{6 \pi}{15}\right) \cos \left(\frac{7 \pi}{15}\right) pode ser escrito da forma ( a^{b} ) com a um número inteiro positivo e b um número inteiro. Então o valor de |(a-b)| vale:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\cos\!\left(\frac{\pi}{15}\right)\cos\!\left(\frac{2\pi}{15}\right)\cos\!\left(\frac{3\pi}{15}\right)\cos\!\left(\frac{4\pi}{15}\right)\cos\!\left(\frac{5\pi}{15}\right)\cos\!\left(\frac{6\pi}{15}\right)\cos\!\left(\frac{7\pi}{15}\right)
e diz que esse valor pode ser escrito na forma \,a^{b}\, com a inteiro positivo e b inteiro (podendo ser negativo). Pede-se o valor de |a-b|.
Informações relevantes fornecidas: os sete fatores são os cossenos de \dfrac{k\pi}{15} para k=1,2,\dots,7. A tarefa é obter o produto, escrever como a^b e calcular |a-b|.

Passo 2

Vamos transformar cada cosseno em seno, porque existe uma boa teoria de produtos de senos. Usando \cos x=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right), para cada inteiro k temos
\cos\!\left(\frac{k\pi}{15}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\frac{k\pi}{15}\right)=\sin\!\left(\frac{15\pi}{30}-\frac{2k\pi}{30}\right)=\sin\!\left(\frac{(15-2k)\pi}{30}\right).
Para k=1,2,\dots,7 os valores 15-2k são 13,11,9,7,5,3,1. Portanto o produto pedido vale
P=\prod_{k=1}^{7}\cos\!\left(\frac{k\pi}{15}\right)=\prod_{m\in\{1,3,5,7,9,11,13\}}\sin\!\left(\frac{m\pi}{30}\right).

Passo 3

Agora vamos usar uma fórmula padrão para produtos de senos. Vou explicá-la de forma simples: considere o polinômio x^{n}-1 e suas raízes e^{2\pi i k/n} para k=0,1,\dots,n-1. Diferenciando x^{n}-1=\prod_{k=0}^{n-1}(x-e^{2\pi i k/n}) e avaliando em x=1 obtemos
n=\prod_{k=1}^{n-1}\bigl(1-e^{2\pi i k/n}\bigr).
Tomando o módulo de cada fator e lembrando que |1-e^{i\theta}|=2\bigl|\sin(\theta/2)\bigr|, resulta
n=\prod_{k=1}^{n-1}2\sin\!\left(\frac{\pi k}{n}\right).
Isolando o produto de senos,
\prod_{k=1}^{n-1}\sin\!\left(\frac{\pi k}{n}\right)=\frac{n}{2^{\,n-1}}.
Essa é a identidade que usaremos. (Aqui n é um inteiro \ge2.)

Passo 4

Aplique a identidade com n=30. Então
\prod_{k=1}^{29}\sin\!\left(\frac{k\pi}{30}\right)=\frac{30}{2^{29}}.
Esse é o produto de todos os senos com argumento \dfrac{k\pi}{30} para k=1,\dots,29.

Passo 5

Separe esse produto total em fatores com k pares e k ímpares. Se k é par escreva k=2j com j=1,\dots,14; então
\prod_{\substack{k=1\k\\ \text{par}}}^{29}\sin\!\left(\frac{k\pi}{30}\right)=\prod_{j=1}^{14}\sin\!\left(\frac{2j\pi}{30}\right)=\prod_{j=1}^{14}\sin\!\left(\frac{j\pi}{15}\right).
Aplicando a identidade com n=15 obtemos
\prod_{j=1}^{14}\sin\!\left(\frac{j\pi}{15}\right)=\frac{15}{2^{14}}.
Logo o produto sobre os índices ímpares (ou seja, k=1,3,5,\dots,29) é
\prod_{\substack{k=1\k\\ \text{ímpar}}}^{29}\sin\!\left(\frac{k\pi}{30}\right) =\frac{\displaystyle\prod_{k=1}^{29}\sin\!\left(\frac{k\pi}{30}\right)}{\displaystyle\prod_{\substack{k=1\k\\ \text{par}}}^{29}\sin\!\left(\frac{k\pi}{30}\right)} =\frac{\dfrac{30}{2^{29}}}{\dfrac{15}{2^{14}}}.
Calcule o quociente passo a passo:
\frac{30}{2^{29}}\cdot\frac{2^{14}}{15}=\frac{30}{15}\cdot 2^{14-29}=2\cdot 2^{-15}=2^{-14}.
Portanto
\prod_{\substack{k=1\k\\ \text{ímpar}}}^{29}\sin\!\left(\frac{k\pi}{30}\right)=2^{-14}.

Passo 6

Observe agora a simetria das senos: para m\in\{1,3,5,\dots,29\} tem-se \sin\!\left(\frac{m\pi}{30}\right)=\sin\!\left(\frac{(30-m)\pi}{30}\right). Entre os índices ímpares de 1 a 29 está o termo m=15 com \sin\!\left(\frac{15\pi}{30}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1. Assim o produto sobre todos os ímpares fatoriza como o quadrado do produto sobre os primeiros sete ímpares:
\prod_{\substack{k=1\k\\ \text{ímpar}}}^{29}\sin\!\left(\frac{k\pi}{30}\right) =\biggl(\prod_{m\in\{1,3,5,7,9,11,13\}}\sin\!\left(\frac{m\pi}{30}\right)\biggr)^{2}.
Mas a expressão entre parênteses à direita é exatamente P (veja o Passo 2). Como o produto sobre todos os ímpares vale 2^{-14}, obtemos
P^{2}=2^{-14}\quad\Longrightarrow\quad P=2^{-7}.
(Escolhe-se o sinal positivo porque todos os fatores \cos(k\pi/15) para k=1,\dots,7 são positivos; portanto o produto é positivo.)

Passo 7

Concluímos que
\prod_{k=1}^{7}\cos\!\left(\frac{k\pi}{15}\right)=2^{-7}.
Escrever na forma a^{b} a=2 e b=-7. Portanto
|a-b|=\bigl|2-(-7)\bigr|=|9|=9.
Força aí — deu trabalho, mas ficou bonito: 2^{-7} é a resposta em forma exponencial.

Resposta

9

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