(Competição da Olimpíada de matemática da Hungria - modificada) O valor da expressão \cos \left(\frac{\pi}{15}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{15}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{15}\right) \cos \left(\frac{4 \pi}{15}\right) \cos \left(\frac{5 \pi}{15}\right) \cos \left(\frac{6 \pi}{15}\right) \cos \left(\frac{7 \pi}{15}\right) pode ser escrito da forma ( a^{b} ) com a um número inteiro positivo e b um número inteiro. Então o valor de |(a-b)| vale:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
e diz que esse valor pode ser escrito na forma \,a^{b}\, com a inteiro positivo e b inteiro (podendo ser negativo). Pede-se o valor de |a-b|.
Informações relevantes fornecidas: os sete fatores são os cossenos de \dfrac{k\pi}{15} para k=1,2,\dots,7. A tarefa é obter o produto, escrever como a^b e calcular |a-b|.
Passo 2
Vamos transformar cada cosseno em seno, porque existe uma boa teoria de produtos de senos. Usando \cos x=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right), para cada inteiro k temos
Agora vamos usar uma fórmula padrão para produtos de senos. Vou explicá-la de forma simples: considere o polinômio x^{n}-1 e suas raízes e^{2\pi i k/n} para k=0,1,\dots,n-1. Diferenciando x^{n}-1=\prod_{k=0}^{n-1}(x-e^{2\pi i k/n}) e avaliando em x=1 obtemos
n=\prod_{k=1}^{n-1}\bigl(1-e^{2\pi i k/n}\bigr).
Tomando o módulo de cada fator e lembrando que |1-e^{i\theta}|=2\bigl|\sin(\theta/2)\bigr|, resulta
Observe agora a simetria das senos: para m\in\{1,3,5,\dots,29\} tem-se \sin\!\left(\frac{m\pi}{30}\right)=\sin\!\left(\frac{(30-m)\pi}{30}\right). Entre os índices ímpares de 1 a 29 está o termo m=15 com \sin\!\left(\frac{15\pi}{30}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1. Assim o produto sobre todos os ímpares fatoriza como o quadrado do produto sobre os primeiros sete ímpares: