Calcule
, onde
é a parte superior da circunferência de centro
e raio 2 .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a semicircunferência superior de raio
centrada na origem.
O conteúdo principal envolve integrais de linha de campos não conservativos e o uso do Teorema de Green, fechando com o diâmetro para aplicar o teorema.
O conteúdo principal envolve integrais de linha de campos não conservativos e o uso do Teorema de Green, fechando
Passo 2
Verificamos se o campo
, com
é conservativo calculando
Como
, o campo não é conservativo, então usaremos o Teorema de Green fechando o caminho.
Passo 3
Seja
o segmento de reta de
a
. O caminho fechado
, contornado positivamente (anti-horário), delimita o semidisco
de raio
.
Pelo Teorema de Green:
Pelo Teorema de Green:
A área de
é metade da área do disco de raio
, ou seja,
Logo
Passo 4
Agora calculamos a integral sobre o segmento
, onde
,
e
varia de
a
:
Como o expoente
é par,
é função par, então
Passo 5
Da relação
temos