Calcule \int_{C}\left(2 y+x^{2026}\right) d x+\left(5 x-e^{y^{2}}\right) d y, onde C é a parte superior da circunferência de centro (0,0) e raio 2 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\bigl(2y + x^{2026}\bigr)\,dx \;+\;\bigl(5x - e^{y^{2}}\bigr)\,dy
onde C é a semicircunferência superior de raio 2 centrada na origem.
O conteúdo principal envolve integrais de linha de campos não conservativos e o uso do Teorema de Green, fechando C com o diâmetro para aplicar o teorema.

Passo 2

Verificamos se o campo \mathbf{F}=(P,Q), com
P(x,y)=2y + x^{2026}, \quad Q(x,y)=5x - e^{y^{2}},
é conservativo calculando
\frac{\partial P}{\partial y}=2, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=5.
Como 2\neq5, o campo não é conservativo, então usaremos o Teorema de Green fechando o caminho.

Passo 3

Seja L o segmento de reta de (-2,0) a (2,0). O caminho fechado \Gamma=C\cup L, contornado positivamente (anti-horário), delimita o semidisco D de raio 2.
Pelo Teorema de Green:
\oint_{\Gamma}P\,dx + Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA =\iint_{D}(5-2)\,dA =3\cdot\text{Area}(D).
A área de D é metade da área do disco de raio 2, ou seja,
\text{Area}(D)=\tfrac12\pi\cdot2^{2}=2\pi.
Logo
\oint_{\Gamma}P\,dx + Q\,dy =3\cdot2\pi=6\pi.

Passo 4

Agora calculamos a integral sobre o segmento L, onde y=0, dy=0 e x varia de -2 a 2:
\int_{L}P\,dx+Q\,dy =\int_{-2}^{2}\bigl(2\cdot0 + x^{2026}\bigr)\,dx =\int_{-2}^{2}x^{2026}\,dx.
Como o expoente 2026 é par, x^{2026} é função par, então
\int_{-2}^{2}x^{2026}\,dx =2\int_{0}^{2}x^{2026}\,dx =2\cdot\frac{x^{2027}}{2027}\Big|_{0}^{2} =\frac{2\cdot2^{2027}}{2027} =\frac{2^{2028}}{2027}.

Passo 5

Da relação
\oint_{\Gamma}P\,dx + Q\,dy =\int_{C}P\,dx + Q\,dy + \int_{L}P\,dx + Q\,dy
temos
\int_{C}P\,dx + Q\,dy =6\pi \;-\;\frac{2^{2028}}{2027}.

Resposta

\boxed{6\pi \;-\;\frac{2^{2028}}{2027}}.

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