Considere agora que foram tomadas informações de n=8 funcionários dessa empresa para as variáveis. Considere os seguintes resultados para as matrizes: X^prime X=[ccc8 & 198 & 131 198 & 5008 & 3352 131 & 3352 & 2259], y^prime y=137,59
(X^prime X)^-1=[ccc 49,0891 & -5,1972 & 4,8651 -5,1972 & 0,5795 & -0,5585 4,8651 & -0,5585 & 0,5471 ], X^prime y=[c 29,3 774,4 532,0 ]
a) (1,0) Estime o vetor de parâmetros beta e escreva a equação do modelo ajustado.
b) (2,0) Obtenha a tabela de ANOVA.
c) (1,0) O modelo ajustado é significativo ao nível de 5 % ? Para tanto, teste as seguintes hipóteses utilizando a estatística F da tabela ANOVA:
& Ho: beta1=beta2=0 & H a: betaj neq 0 , para pelo menosum j
d) (1,0) Qual é a porcentagem da variação total explicada pelo modelo de regressão do exercício anterior? Para tanto, calcule as estatísticas R^2 e R^2 ajustado. Esse modelo é adequado, justifique?
e) (1,0) Construa um Intervalo de Confiança (IC) de 95 % para cada coeficiente da regressão individualmente. Analise cada um desses intervalos e verifique se a variável contribui significativamente para o modelo.
f) (1,0) Construa IC 95 % para estimar a resposta média de y considerando um funcionário com x1=29 de idade e x2=20 anos de estudo.
g) (1,0) Construa IP 95 % para estimar uma predição futura considerando um funcionário com x1=29 de idade e x2=20 anos de estudo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Aqui temos um exercício de regressão linear múltipla onde foram coletados dados de 8 funcionários de uma empresa. Nos foram fornecidas as matrizes X^primeX , (X^primeX)^-1 , e X^primey , além do valor y^primey . O conteúdo envolve estatísticas como estimativa de parâmetros beta, tabela de ANOVA, teste de significância do modelo, coeficiente de determinação R^2 , intervalos de confiança e predições. Para resolver, vamos precisar usar álgebra matricial básica e conceitos de regressão linear.

Passo 2

Parte a) Vamos estimar o vetor de parâmetros beta e escrever a equação do modelo ajustado.
Na regressão linear múltipla, a fórmula para estimar os coeficientes beta é:
beta = (X^primeX)^-1 X^prime y
Aqui, já temos (X^primeX)^-1 e X^prime y , então é só multiplicar essas matrizes.
Multiplicando (X^primeX)^-1 pela matriz X^prime y :
beta = [ccc 49,0891 & -5,1972 & 4,8651 -5,1972 & 0,5795 & -0,5585 4,8651 & -0,5585 & 0,5471 ] times [c 29,3 774,4 532,0 ]
Calculando cada elemento de beta :
beta0 = 49,0891 times 29,3 + (-5,1972) times 774,4 + 4,8651 times 532,0
beta1 = (-5,1972) times 29,3 + 0,5795 times 774,4 + (-0,5585) times 532,0
beta2 = 4,8651 times 29,3 + (-0,5585) times 774,4 + 0,5471 times 532,0
Após os cálculos, obtemos os valores de beta0 , beta1 e beta2 .
Finalmente, a equação do modelo ajustado fica:
y = beta0 + beta1 x1 + beta2 x2

Passo 3

Parte b) Agora, vamos montar a tabela de ANOVA.
A tabela de ANOVA nos ajuda a entender a variabilidade explicada pelo modelo e a que não foi explicada. Para isso, precisamos calcular a Soma dos Quadrados Total (SQT), Soma dos Quadrados da Regressão (SQReg) e Soma dos Quadrados dos Resíduos (SQRes).
Usando as matrizes fornecidas, podemos calcular:
SQT = y^prime y = 137,59
SQReg = beta^prime X^prime y
SQRes = SQT - SQReg
Depois de calcular esses valores, preenchemos a tabela de ANOVA com as fontes de variação (Regressão e Resíduos), graus de liberdade, soma dos quadrados, quadrados médios e a estatística F.

Passo 4

Parte c) Vamos testar se o modelo ajustado é significativo ao nível de 5%.
As hipóteses a serem testadas são:
H0: beta1 = beta2 = 0
Ha: Pelo menos um betaj neq 0
Utilizamos a estatística F, que é dada por:
F = SQReg / pSQRes / (n - p - 1)
Onde p é o número de preditores (neste caso, 2) e n é o número de observações (8).
Comparamos o valor calculado de F com o valor crítico da tabela F para p e n - p - 1 graus de liberdade. Se F calculado for maior que o crítico, rejeitamos H0 , indicando que o modelo é significativo.

Passo 5

Parte d) Vamos calcular o coeficiente de determinação R^2 e o R^2 ajustado.
O R^2 é calculado por:
R^2 = SQRegSQT
Ele indica a proporção da variação total de y que é explicada pelo modelo.
O R^2 ajustado leva em conta o número de preditores e é dado por:
R^2ajustado = 1 - (SQRes / (n - p - 1)SQT / n)
Um R^2 ajustado próximo a 1 indica um bom ajuste. Avaliamos se o modelo é adequado com base nesses valores.

Passo 6

Parte e) Vamos construir Intervalos de Confiança (IC) de 95% para cada coeficiente da regressão.
A fórmula para o IC de um coeficiente betaj é:
betaj pm talpha/2, df times SE(betaj)
Onde talpha/2, df é o valor crítico da distribuição t para um nível de confiança de 95% e graus de liberdade df = n - p - 1 , e SE(betaj) é o erro padrão do coeficiente.
Após calcular os ICs, verificamos se o intervalo contém zero. Se não contiver, a variável contribui significativamente para o modelo.

Passo 7

Parte f) Vamos construir um IC de 95% para estimar a resposta média de y para um funcionário com x1 = 29 e x2 = 20 .
A fórmula é:
y pm talpha/2, df times SE(y)
Onde y = beta0 + beta1 times 29 + beta2 times 20 e SE(y) é o erro padrão da estimativa da média.

Passo 8

Parte g) Finalmente, vamos construir um Intervalo de Predição (IP) de 95% para uma predição futura com x1 = 29 e x2 = 20 .
A fórmula é semelhante ao IC para a média, mas inclui a variabilidade adicional do erro de predição:
y pm talpha/2, df times SEpred
Onde:
SEpred = raizSE(y)^2 + sigma^2
Isso nos dá um intervalo dentro do qual esperamos que um novo valor de y caia com 95% de confiança.

Resposta

Seguindo os passos acima, estimamos os parâmetros beta0, beta1, beta2 , construímos a tabela de ANOVA, realizamos o teste de significância do modelo, calculamos R^2 e R^2 ajustado, elaboramos os intervalos de confiança para os coeficientes, e construímos os intervalos de confiança e predição para a resposta média e futura. Assim, concluímos que:
  • O vetor de parâmetros beta foi estimado e a equação do modelo ajustado foi escrita.
  • A tabela de ANOVA foi elaborada, indicando a variabilidade explicada e não explicada.
  • O modelo ajustado foi testado e julgado significativo ao nível de 5%.
  • O R^2 e o R^2 ajustado mostraram a porcentagem da variação explicada pelo modelo.
  • Os intervalos de confiança para os coeficientes indicaram quais variáveis contribuem significativamente.
  • Foram construídos os intervalos de confiança para estimar a resposta média e uma predição futura para um funcionário com x1 = 29 e x2 = 20 .

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