Aplicar o Teorema 1 (Conjugação no modelo normal) e calcular as probabilidades a posteriori para os seguintes casos:
Seja X a v.a. que representa o peso, em K g, de determinado produto e X sim N(theta ; 0,025). Considere que uma a. a. de X com n=20 resultou em sumi=1^20 xi=120. Calcular a probabilidade a posteriori P[5,8<(theta mid X)<6], considerando a distribuição a priori para theta, dada por theta sim N(5,2 ; 0,05).

Passo 1

O enunciado diz que temos observações X1,dots,X20 i.i.d. de uma Normal com média theta e variância conhecida sigma^2=0,025. A soma dessas observações é sumi=1^20xi=120, de modo que a média amostral é bar x=120/20=6. A priori de theta é thetasim N(mu0=5,2,tau0^2=0,05). Queremos a probabilidade a posteriori
Pl(5,8<theta<6mid Xr)
O conteúdo é aplicação do Teorema de conjugação para modelo normal com variância conhecida.

Passo 2

Pela conjugação, a distribuição a posteriori de theta é normal com
taun^2 =1 1tau0^2+nsigma^2 e mun =taun^2l(mu0tau0^2+n,bar xsigma^2r)

Passo 3

Substituindo tau0^2=0,05, sigma^2=0,025, n=20, bar x=6 e mu0=5,2:
1taun^2 =10,05+200,025 =20+800=820 Longrightarrow taun^2=1820approx0,0012195,
mun =1820l(5,20,05+20cdot60,025r) =1820(104+4800) =4904820approx5,9817
Logo thetamid Xsim N(5,9817,,0,0012195).

Passo 4

Queremos
Pl(5,8<theta<6mid Xr) = Phi!l(6-muntaunr) -Phi!l(5,8-muntaunr)
Calculando os z-scores:
z1=5,8-5,9817raiz0,0012195 approx-5,21, z2=6-5,9817raiz0,0012195 approx0,52
Como Phi(-5,21)approx0 e Phi(0,52)approx0,70,
P(5,8<theta<6mid X)approx0,70

Resposta

P(5,8<theta<6mid X)approx0,70.

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