Aplicar o Teorema 1 (Conjugação no modelo normal) e calcular as probabilidades a posteriori para os seguintes casos:
Seja X sim N(theta ; 4). Considere que uma a. a. de X com n=50 resultou em sumi=1^50 xi=400. Calcular a probabilidade a posteriori P[8<(theta mid X)<9], considerando a distribuição a priori para theta, dada por theta sim N(10,1).

Passo 1

O enunciado trata de inferência Bayesiana no modelo normal conjugado. Temos XimidthetaoversetiidsimN(theta,4) com n=50 e sumi=1^50xi=400. A priori thetasim N(10,1). Vamos usar o Teorema da conjugação no modelo normal para obter a distribuição a posteriori de theta e então calcular
Pl(8<theta<9mid Xr)

Passo 2

Calcular a média amostral bar x:
bar x = 1nsumi=1^n xi = 40050 = 8

Passo 3

No modelo normal conjugado com variância conhecida sigma^2=4 e prior N(mu0,v0), a posteriori é N(mun,vn) com
1vn = 1v0 + nsigma^2, mun = vnl(mu0v0 + n,bar xsigma^2r)

Passo 4

Aqui mu0=10, v0=1, n=50, sigma^2=4 e bar x=8. Então
1vn = 1 + 504 = 1 + 12,5 = 13,5 Longrightarrow vn = 113,5approx 0,074074,
mun = 0,074074l(10 + 50cdot 84r) =0,074074,(10 +100) =0,074074cdot110 approx 8,148148

Passo 5

Logo, a distribuição a posteriori é
thetamid X sim Nl(8,148148,;0,074074r)

Passo 6

Queremos
P(8<theta<9mid X) =Phi!l(9-munraizvnr);-;Phi!l(8-munraizvnr)
Calculemos os z-escores:
sigman = raizvnapprox 0,272166, z1 = 8 - 8,1481480,272166approx -0,5444, z2 = 9 - 8,1481480,272166approx 3,1305
Usando a tabela da normal padrão:
Phi(3,1305)approx 0,9991 e Phi(-0,5444)=1-Phi(0,5444)approx 1-0,707=0,293.
Portanto,
P(8<theta<9mid X)approx 0,9991 - 0,293 = 0,7061

Resposta

Pl(8<theta<9mid Xr)approx 0,706

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