Considerando amostras de X com n observações, escreva as funções de verossimilhança p(X mid theta) para os modelos a seguir:
Exponencial (theta)

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra X=(x1,dots,xn) de tamanho n extraída de uma distribuição Exponencial com parâmetro theta. Precisamos escrever a função de verossimilhança
;p(Xmidtheta). Vamos usar o fato de que as observações são independentes e conhecer a densidade da Exponencial.

Passo 2

A densidade de probabilidade de cada observação xi na Exponencial de taxa theta>0 é
f(ximidtheta) = theta ,e^-theta xi, xi>=0

Passo 3

Pela independência, a função de verossimilhança é o produto das densidades individuais:
p(Xmidtheta) =prodi=1^nf(ximidtheta) =prodi=1^nl(theta e^-theta xir) =theta^nexpl(-thetasumi=1^nxir)

Resposta

p(Xmidtheta) =theta^n,expl(-thetasumi=1^nxir)

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