Determine o volume de E comum aos interiores dos cilindros x^2+y^2=1 e x^2+z^2=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o volume da região E que é a interseção dos cilindros de raio 1 definidos por x^2+y^2<=1 e x^2+z^2<=1. Esse é um problema clássico de cálculo de volume usando método de discos ou corte em fatias (princípio de Cavalieri), só que aqui é cilindro em vez de disco.

Passo 2

Para aplicar o método de fatias, fixamos um valor de x entre -1 e 1. Para esse x fixo, as desigualdades x^2+y^2<=1 e x^2+z^2<=1 viram
y^2<=1 - x^2,
z^2<=1 - x^2
Cada uma define um intervalo de comprimento 2raiz1 - x^2 em y e em z. Logo, a seção transversal no plano yz é um quadrado de lado 2raiz1 - x^2, cujo área vale
A(x)=l(2raiz1 - x^2r)^2=4,(1 - x^2)

Passo 3

O volume total é a integral dessa área de x=-1 até x=1. Assim,
V=integral-1^14,(1 - x^2),dx
Calculando, temos
integral-1^1(1 - x^2),dx=l[x - x^33r]-1^1=(1 - tfrac13)-(-1 + tfrac13)=2-tfrac23=tfrac43,
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V=4timestfrac43=tfrac163

Resposta

V=tfrac163.

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