Determine, para cada uma das séries a seguir, a convergência ou divergência.
sumn=1^infty n^22^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série ∑_{n=1}^{∞} n²/2ⁿ converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries infinitas de termos positivos e vamos usar o teste da razão para séries.

Passo 2

Definimos o termo geral da série como a_n = n^22^n. O teste da razão diz que devemos calcular o limite L = lim_{n→∞} a_{n+1}/a_n e comparar com 1.

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = (n+1)^22^n+1n^22^n = (n+1)^22,n^2
Agora avaliamos o limite:
L = limntoinfty (n+1)^22,n^2 = 12

Passo 4

Como encontramos L = 1/2 < 1, o teste da razão garante que a série converge. Pelo fato dos termos serem positivos, ela converge absolutamente.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da razão).

Exercícios relacionados