Determine, para cada uma das séries a seguir, a convergência ou divergência.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série ∑_{n=1}^{∞} n²/2ⁿ converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries infinitas de termos positivos e vamos usar o teste da razão para séries.
Passo 2
Definimos o termo geral da série como a_n =
. O teste da razão diz que devemos calcular o limite L = lim_{n→∞} a_{n+1}/a_n e comparar com 1.
Passo 3
Calculamos a razão entre termos consecutivos:
Agora avaliamos o limite:
Passo 4
Como encontramos L = 1/2 < 1, o teste da razão garante que a série converge. Pelo fato dos termos serem positivos, ela converge absolutamente.
Resposta
A série converge (convergência absoluta pelo teste da razão).