Um aplicativo criado com o objetivo de aulixiar seus usuários na escolha do plano de saúde fez um levantamento da preferência dos clientes pelos planos oferecidos e registrou duas variáveis:
, referente ao plano de saúde escolhido, e
, referente a idade do contratante. A distribuição de probabilidades conjunta de
e
é dada por:
|
30 | 60 |
---|---|---|
1 | 0.5 | 0.2 |
2 | 0.03 | 0 |
3 | 0.07 | 0.2 |
Sabendo que
e
, assinale a alternativa correspondente à correlação entre as variáveis
e
.
(a) 5.160
(b) 0.604
© 3.612
(d) 0.396
(e) 0.277
(a) 5.160
(b) 0.604
© 3.612
(d) 0.396
(e) 0.277
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Estamos lidando com um problema de estatística que envolve duas variáveis aleatórias: $ X $ (plano de saúde escolhido) e $ Y $ (idade do contratante). Queremos encontrar a correlação entre essas duas variáveis com base na distribuição de probabilidades conjunta fornecida. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como esperança matemática (E), variância (Var), covariância (Cov) e correlação (
). Além disso, vamos utilizar fórmulas matemáticas básicas para calcular esses valores.
Passo 2
Calculando a Esperança de $ XY $, ou seja, $ E(XY) $
Para encontrar a correlação, primeiro precisamos calcular $ E(XY) $. Isso é feito multiplicando cada valor de $ X $ e $ Y $ pelas suas respectivas probabilidades conjuntas e somando todos os resultados.
Vamos calcular isso para cada combinação de $ X $ e $ Y $:
-
Para $ Y = 30 $:
- $ X = 1 $: $ 1 \times 30 \times 0.5 = 15 $
- $ X = 2 $: $ 2 \times 30 \times 0.03 = 1.8 $
- $ X = 3 $: $ 3 \times 30 \times 0.07 = 6.3 $
Total para $ Y = 30 $: $ 15 + 1.8 + 6.3 = 23.1 $ -
Para $ Y = 60 $:
- $ X = 1 $: $ 1 \times 60 \times 0.2 = 12 $
- $ X = 2 $: $ 2 \times 60 \times 0 = 0 $
- $ X = 3 $: $ 3 \times 60 \times 0.2 = 36 $
Total para $ Y = 60 $: $ 12 + 0 + 36 = 48 $
Somando todos: $ E(XY) = 23.1 + 48 = 71.1 $
Passo 3
Calculando a Covariância entre $ X $ e $ Y $, ou seja, $ Cov(X,Y) $
A covariância nos mostra como duas variáveis se variam juntas. A fórmula é:
Já temos $ E(XY) = 71.1 $, $ E(X) = 1.57 $ e $ E(Y) = 42 $.
Passo 4
Calculando as Variâncias de $ X $ e $ Y $, ou seja, $ Var(X) $ e $ Var(Y) $
A variância mede a dispersão dos valores em relação à média. As fórmulas são:
Vamos calcular cada uma:
-
Para $ X $:
-
Para $ Y $:
Passo 5
Calculando os Desvios Padrão de $ X $ e $ Y $, ou seja, $ \sigma_X $ e $ \sigma_Y $
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e nos dá uma noção de quão espalhados estão os dados.
Passo 6
Calculando a Correlação entre $ X $ e $ Y $, ou seja, $ \rho_{X,Y} $
A correlação mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. A fórmula é:
Substituindo os valores que já calculamos:
Resposta
A correlação entre as variáveis $ X $ e $ Y $ é 0.396, correspondente à alternativa (d).