Um aplicativo criado com o objetivo de aulixiar seus usuários na escolha do plano de saúde fez um levantamento da preferência dos clientes pelos planos oferecidos e registrou duas variáveis: X, referente ao plano de saúde escolhido, e Y, referente a idade do contratante. A distribuição de probabilidades conjunta de X e Y é dada por:
X backslash Y 30 60
1 0.5 0.2
2 0.03 0
3 0.07 0.2
Sabendo que E(X)=1.57, E(X^2)=3.25, E(Y)=42 e E(Y^2)=1980, assinale a alternativa correspondente à correlação entre as variáveis X e Y.
(a) 5.160
(b) 0.604
© 3.612
(d) 0.396
(e) 0.277

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Estamos lidando com um problema de estatística que envolve duas variáveis aleatórias: $ X $ (plano de saúde escolhido) e $ Y $ (idade do contratante). Queremos encontrar a correlação entre essas duas variáveis com base na distribuição de probabilidades conjunta fornecida. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como esperança matemática (E), variância (Var), covariância (Cov) e correlação ( X ). Além disso, vamos utilizar fórmulas matemáticas básicas para calcular esses valores.

Passo 2

Calculando a Esperança de $ XY $, ou seja, $ E(XY) $
Para encontrar a correlação, primeiro precisamos calcular $ E(XY) $. Isso é feito multiplicando cada valor de $ X $ e $ Y $ pelas suas respectivas probabilidades conjuntas e somando todos os resultados.
XY
Vamos calcular isso para cada combinação de $ X $ e $ Y $:
  • Para $ Y = 30 $:
    • $ X = 1 $: $ 1 \times 30 \times 0.5 = 15 $
    • $ X = 2 $: $ 2 \times 30 \times 0.03 = 1.8 $
    • $ X = 3 $: $ 3 \times 30 \times 0.07 = 6.3 $
    Total para $ Y = 30 $: $ 15 + 1.8 + 6.3 = 23.1 $
  • Para $ Y = 60 $:
    • $ X = 1 $: $ 1 \times 60 \times 0.2 = 12 $
    • $ X = 2 $: $ 2 \times 60 \times 0 = 0 $
    • $ X = 3 $: $ 3 \times 60 \times 0.2 = 36 $
    Total para $ Y = 60 $: $ 12 + 0 + 36 = 48 $
Somando todos: $ E(XY) = 23.1 + 48 = 71.1 $

Passo 3

Calculando a Covariância entre $ X $ e $ Y $, ou seja, $ Cov(X,Y) $
A covariância nos mostra como duas variáveis se variam juntas. A fórmula é:
X
Já temos $ E(XY) = 71.1 $, $ E(X) = 1.57 $ e $ E(Y) = 42 $.
Y

Passo 4

Calculando as Variâncias de $ X $ e $ Y $, ou seja, $ Var(X) $ e $ Var(Y) $
A variância mede a dispersão dos valores em relação à média. As fórmulas são:
X
Y
Vamos calcular cada uma:
  • Para $ X $:
    Var(X)
  • Para $ Y $:
    Var(Y)

Passo 5

Calculando os Desvios Padrão de $ X $ e $ Y $, ou seja, $ \sigma_X $ e $ \sigma_Y $
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e nos dá uma noção de quão espalhados estão os dados.
X
Y

Passo 6

Calculando a Correlação entre $ X $ e $ Y $, ou seja, $ \rho_{X,Y} $
A correlação mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. A fórmula é:
X
Substituindo os valores que já calculamos:
Y

Resposta

A correlação entre as variáveis $ X $ e $ Y $ é 0.396, correspondente à alternativa (d).

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