O tempo gasto por um técnico para realizar a manutenção preventiva de um aparelho de ar condicionado tem média igual a 86 minutos e desvio-padrão igual a 24 minutos. Se um cliente tem 30 destes aparelhos, qual é a probabilidade de que o tempo médio de realização da manutenção destas unidades exceda 85 minutos?
(a) 0.5208
(b) 0.5166
© 0.5007
(d) 0.1203
(e) 0.5910

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que um técnico leva, em média, 86 minutos para fazer a manutenção preventiva de um ar condicionado, com um desvio-padrão de 24 minutos. O cliente tem 30 aparelhos e quer saber qual a probabilidade de que o tempo médio para manter esses 30 aparelhos seja maior que 85 minutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Distribuição Normal e Distribuição Amostral da Média.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando temos uma média de várias observações (nesse caso, 30 aparelhos), a média dessas observações também segue uma distribuição normal, se o tamanho da amostra for grande o suficiente (neste caso, 30 é considerado adequado). Essa distribuição da média tem uma média igual à média da população e um desvio-padrão igual ao desvio-padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra.
Matematicamente, isso é representado por:
mubarX = mu = 86 minutos
sigmabarX = sigmaraizn = 24raiz30

Passo 3

Vamos calcular o desvio-padrão da distribuição da média:
sigmabarX = 24raiz30 approx 245,477 approx 4,38 minutos

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a média seja maior que 85 minutos. Para isso, vamos calcular o escore z, que nos diz quantos desvios-padrão o valor de 85 está abaixo da média.
A fórmula do escore z é:
z = barX - mubarXsigmabarX = 85 - 864,38 approx -14,38 approx -0,228

Passo 5

Com o escore z calculado, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse valor na tabela da distribuição normal padrão. O valor de z = -0,228 corresponde a uma probabilidade de aproximadamente 0,4092 (ou 40,92%) de a média ser menor que 85 minutos.

Passo 6

Mas a questão pede a probabilidade de a média exceder 85 minutos. Como a distribuição normal é simétrica, a probabilidade de ser maior que 85 minutos é:
P(barX > 85) = 1 - P(barX <= 85) = 1 - 0,4092 = 0,5908 ou 59,08%

Resposta

A probabilidade de que o tempo médio de manutenção das 30 unidades exceda 85 minutos é aproximadamente 0,5910.
Portanto, a resposta correta é a letra (e) 0.5910.

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