Segundo a Organização Mundial da Saúde, a proporção de brasileiros que sofrem com a depressão é de
. Se uma amostra de 220 for selecionada de forma aleatória, qual a probabilidade de que a proporção amostral de depressivos seja menor que
?
(a) 0.5832
(b) 0.5007
© 0.7217
(d) 0.5199
(e) 0.7517
(a) 0.5832
(b) 0.5007
© 0.7217
(d) 0.5199
(e) 0.7517
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala que, segundo a Organização Mundial da Saúde, 5% dos brasileiros sofrem de depressão. A gente vai pegar uma amostra aleatória de 220 pessoas e quer saber qual a probabilidade de que, nessa amostra, menos de 6% das pessoas sejam depressivas.
Vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, mais especificamente distribuição amostral da proporção, para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a proporção verdadeira da população ($ p $) é 5%, ou seja, $ p = 0,05 $. A amostra é de tamanho $ n = 220 $.
Queremos achar a probabilidade de que a proporção amostral ($ \hat{p} $) seja menor que 6%, ou seja, $ P(\hat{p} < 0,06) $.
Passo 3
Para isso, usamos a distribuição normal aproximada da proporção amostral. A média dessa distribuição é igual à proporção da população ($ \mu_{\hat{p}} = p $) e o desvio padrão é calculado pela fórmula:
Vamos calcular:
Passo 4
Agora, queremos encontrar quantos desvios padrão $ 0,06 $ está da média $ 0,05 $. Isso é feito calculando o escore z:
Passo 5
Com o valor de $ z $ calculado, usamos a tabela da distribuição normal padrão (ou uma calculadora) para encontrar a probabilidade correspondente a $ z = 0,68 $.
Consultando a tabela, vemos que $ P(Z < 0,68) \approx 0,7517 $.
Resposta
A probabilidade de que a proporção amostral de depressivos seja menor que 6% é aproximadamente 0,7517.