Suponha que a altura, em centímetros, de uma pessoa selecionada ao acaso de uma população distribui-se normalmente. Visto que
e
0.297 , qual é a probabilidade de uma pessoa ao acaso ter altura superior a 169 cm ?
(a) 0.0122
(b) 0.0158
© 0.3821
(d) 0.0027
(e) 0.0094
(a) 0.0122
(b) 0.0158
© 0.3821
(d) 0.0027
(e) 0.0094
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a altura de pessoas que segue uma distribuição normal. A gente sabe que $ P(X \leq 152) = 0.5 $ e $ P(X \leq 148) = 0.297 $. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de uma pessoa ter altura superior a 169 cm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal, como média, desvio padrão e a tabela Z (que nos ajuda a encontrar probabilidades em distribuições normais).
Passo 2
Primeiro, vamos entender que na distribuição normal, $ P(X \leq 152) = 0.5 $ indica que 152 cm é a mediana e, para a distribuição normal, a mediana é igual à média. Então, sabemos que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o desvio padrão ($ \sigma $) da distribuição. Para isso, usamos o segundo dado: $ P(X \leq 148) = 0.297 $.
Vamos padronizar esse valor usando a fórmula do z-score:
Substituindo os valores que temos:
Passo 4
Consultando a tabela Z, queremos encontrar o z que corresponde a uma probabilidade de 0.297. Olhando na tabela, o valor mais próximo é $ z = -0.53 $, já que $ P(Z \leq -0.53) \approx 0.297 $.
Então, temos:
Passo 5
Resolvendo para $ \sigma $:
Passo 6
Agora que temos a média ($ \mu = 152 , cm
\sigma \approx 7.547 , cm $), vamos calcular a probabilidade de uma pessoa ter altura superior a 169 cm.
Usamos novamente o z-score:
Passo 7
Consultando a tabela Z para $ z = 2.25 $, encontramos $ P(Z \leq 2.25) \approx 0.9878 $. Mas queremos $ P(X > 169) $, que é o complemento:
Resposta
A probabilidade de uma pessoa ao acaso ter altura superior a 169 cm é 0.0122.