Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a probabilidade de que a variável aleatória contínua $ X $ esteja entre 0,13 e 4, ou seja, $ \mathbb{P}(0.13 < X \leq 4) $. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de Função Densidade de Probabilidade e Cálculo de Integrais. Vamos precisar entender como a função densidade $ f_X(x) $ está definida e como integrá-la para achar a probabilidade desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função densidade $ f_X(x) $ que nos foi dada:
fX(x) á
Isso significa que $ f_X(x) $ tem duas partes diferentes dependendo do valor de $ x $. Nossa missão é integrar essa função de 0,13 até 4 para encontrar a probabilidade.
Passo 3
Como a função densidade muda no ponto $ x = 2 $, precisamos dividir a integral em duas partes: de 0,13 a 2 e de 2 a 4. Isso facilita os cálculos porque em cada intervalo a função é mais simples.
Passo 4
Vamos calcular a primeira parte da integral, de 0,13 a 2, onde $ f_X(x) = \frac{x}{4} $:
fX(x) = x4
Para integrar $ \frac{x}{4} $, usamos a regra básica da integral de $ x^n $:
integral0.13^2 x4 , dx
Agora, avaliamos de 0,13 a 2:
x4
Passo 5
Agora, calculamos a segunda parte da integral, de 2 a 4, onde $ f_X(x) = \frac{1}{4} $:
fX(x) = 14
Aqui, a integral de uma constante é simplesmente a constante multiplicada pelo intervalo:
integral2^4 14 , dx
Passo 6
Agora, somamos os resultados das duas integrais para obter a probabilidade total:
0.4979 + 0.5 = 0.9979 approx 0.998
Resposta
A probabilidade $ \mathbb{P}(0.13 < X \leq 4) $ é 0.998.