Um aplicativo de transporte traça a rota como um segmento de reta que passa pelos pontos \mathrm{P}(2,3) e \mathrm{Q}(8,6) no plano cartesiano. Qual é a equação reduzida da reta que representa essa rota?

Passo 1

O enunciado dá dois pontos pelos quais a reta passa e pede a “equação reduzida” dessa reta. Informações fornecidas:
  • Ponto \mathrm{P} tem coordenadas (2,3).
  • Ponto \mathrm{Q} tem coordenadas (8,6).
O que precisa ser encontrado:
  • A equação da reta no formato reduzido (forma inclinada, também chamada de forma “declive-intercepto”), isto é, uma expressão do tipo \,y = m x + b, onde m é a inclinação (declive) e b é o coeficiente linear (intercepto com o eixo y).

Passo 2

Entender o que é a inclinação m e como calculá-la. A inclinação mede o quanto a reta sobe (ou desce) quando avançamos uma unidade em x. A fórmula para a inclinação entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é:
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Explicando as variáveis:
  • x_1,y_1 são as coordenadas do primeiro ponto;
  • x_2,y_2 são as coordenadas do segundo ponto;
  • O numerador y_2-y_1 é a variação em y (quanto a reta sobe/desce);
  • O denominador x_2-x_1 é a variação em x (quanto avançamos horizontalmente).

Passo 3

Aplicar a fórmula da inclinação aos pontos dados. Tomando (x_1,y_1)=(2,3) e (x_2,y_2)=(8,6), temos:
m=\frac{6-3}{8-2}.
Calcule passo a passo:
6-3=3,\qquad 8-2=6,
portanto
m=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Agora que sabemos m=\tfrac{1}{2}, vamos obter o coeficiente linear b da equação \,y = m x + b. Usamos um dos pontos conhecidos e substituímos x, y e m na equação para resolver b. Usando o ponto \mathrm{P}(2,3):
3=\frac{1}{2}\cdot 2 + b.
Calcule o produto:
\frac{1}{2}\cdot 2 = 1,
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3 = 1 + b.
Isolando b:
b = 3-1 = 2.

Passo 5

Verificação rápida com o outro ponto \mathrm{Q}(8,6) para garantir que não houve erro: substituindo x=8, y=6 e m=\tfrac{1}{2} na forma y=mx+b,
\text{lado direito}=\frac{1}{2}\cdot 8 + 2 = 4 + 2 = 6,
que coincide com y=6. Tudo consistente.

Resposta

y=\tfrac{1}{2}x+2

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