a. Aplique o algorítmo da divisão aos elementos 7+10 i, 4 in Z[i] obtendo elementos q, r tais que 7+10 i=4 q+r com d(r).
b. Este quociente e este resto estão unicamente determinados?

Passo 1

O enunciado pede para usar o algoritmo da divisão em Z[i], ou seja, dado alpha = 7+10i e beta = 4, encontrar q,rinZ[i] tais que alpha = beta q + r com d(r), onde d(a+bi)=a^2+b^2.

Passo 2

Calcule o quociente exato em C:
7+10i4 = 1,75 + 2,5,i
Pelo algoritmo, escolhemos q aproximando partes real e imaginária ao inteiro mais próximo. A parte real 1,75 arredonda para 2. A parte imaginária 2,5 empata entre 2 e 3; podemos escolher 3. Assim,
q = 2 + 3i

Passo 3

Calcule o resto:
r = (7+10i) - 4,(2+3i) = 7+10i - (8+12i) = -1 - 2i
Verifique a norma:
d(r) = (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5 < 16 = d(4),
como exigido.

Passo 4

Quanto à unicidade, note que havia empate ao arredondar 2,5 (parte imaginária). Se escolhermos q'=2+2i, então
r' = (7+10i) - 4,(2+2i) = -1 + 2i,
com d(r')=5<16. Logo existem duas soluções, mostrando que q,r nem sempre são únicos quando há empate no arredondamento.

Resposta

Uma escolha é q = 2 + 3i e r = -1 - 2i. Eles satisfazem 7+10i = 4q + r e d(r)=5<16. Não são únicos: empates no arredondamento (como escolher 2+2i em vez de 2+3i) dão outro par q',r'.

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