Um diedro mede 120^circ. Um ponto P do plano bissetor desse diedro dista 10 cm da aresta do diedro. Calcule a distância de P às faces do diedro.

Passo 1

O enunciado diz que temos um diedro de ângulo 120^circ, um ponto P que pertence ao plano bissetor desse diedro e que está a 10 cm da aresta (linha de interseção das duas faces). O que vamos precisar aqui é entender o plano bissetor de um diedro, fazer uma seção perpendicular à aresta e usar a fórmula da distância de um ponto a uma linha em geometria plana.

Passo 2

Considere um plano perpendicular à aresta do diedro que contenha o ponto P. Nesse corte, as duas faces do diedro viram duas semirretas que partem do mesmo ponto O e formam um ângulo de 120^circ. O plano bissetor do diedro intersecta esse corte na bissetriz do ângulo de 120^circ, dividindo-o em dois ângulos de 60^circ. O ponto projetado de P nesse corte fica a 10 cm de O sobre a bissetriz.

Passo 3

Na geometria plana, a distância de um ponto a uma reta é dada por dPR = dPO,sintheta, onde dPO é a distância do ponto ao vértice e theta é o ângulo entre a direção até o ponto e a reta.

Passo 4

Aqui temos dPO=10 cm e theta=60^circ, pois cada face do diedro forma 60^circ com o plano bissetor. Logo
dPface = 10sin(60^circ) = 10cdotraiz32 = 5raiz3 cm.

Resposta

5\sqrt{3}cm

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