Um diedro mede 120^circ. De um ponto situado no seu plano bissetor, a 12 cm da aresta, traçam-se perpendiculares às duas faces e dos pés dessas perpendiculares traçam-se perpendiculares à aresta do diedro. Calcule o perímetro do quadrilátero assim formado. (Resposta: 12(raiz3+1) cm.)

Passo 1

O enunciado nos dá um diedro de medida 120^circ e um ponto P no plano bissetor desse diedro, a 12 cm da aresta L. Traçam-se de P duas perpendiculares às faces (resultando em pés H1 e H2) e, a partir de cada Hi, uma perpendicular à aresta (pés na aresta, que chamaremos de M1 e M2). Queremos o perímetro do quadrilátero H1M1M2H2.

Passo 2

Em qualquer diedro, se d é a distância de um ponto P ao eixo L e alpha é a metade do ângulo diedral, a distância de P a cada face é
PHi = d,sinalpha
Aqui d=12 cm e alpha=tfrac120^circ2=60^circ, logo
PHi = 12sin60^circ = 12cdotraiz32 = 6raiz3 cm

Passo 3

No plano de cada face formamos o triângulo retângulo PHiMi, em que PHiperp face e HiMiperp L. O ângulo em Hi vale ainda alpha=60^circ, então
HiMi = PHicotalpha = 6raiz3cdotcot60^circ = 6raiz3cdot1raiz3 = 6 cm

Passo 4

O quadrilátero H1M1M2H2 é, por simetria, um retângulo de lados
PHi=6raiz3 e HiMi=6. Logo o perímetro é
2l(6raiz3 + 6r) = 12(raiz3 +1) cm

Resposta

12(\sqrt{3}+1) cm

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