Escreva X^3-Y^3 in Q[X, Y] como produto de polinômios irredutíveis.

Passo 1

Temos o polinômio X^3 - Y^3 em Q[X,Y]. O conteúdo é fatoração de diferença de cubos e irreducibilidade em anéis de polinômios.

Passo 2

Usando a identidade de diferença de cubos, escrevemos:
X^3 - Y^3 = (X - Y)(X^2 + X Y + Y^2)

Passo 3

O fator X - Y é de grau 1 em Q[X,Y] e não é unidade, logo é irreduzível.

Passo 4

Para X^2 + XY + Y^2, trate-o como polinômio em X sobre o anel Q[Y]. Seu discriminante em relação a X é
De
que não é quadrado em Q[Y]. Logo, X^2 + XY + Y^2 é irreduzível em Q[X,Y].

Resposta

(X - Y)(X^2 + XY + Y^2)

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