Aplique o algorítmo da divisão para os polinômios f(X), g(X) abaixo:
f(X)=X^5-3 X^2-X+3 e g(X)=X^2+2 X-1 in Q[X].

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio f(X)=X^5-3X^2-X+3 pelo polinômio g(X)=X^2+2X-1 usando o algoritmo da divisão em Q[X]. Vamos aplicar passo a passo a divisão polinomial para encontrar o quociente Q(X) e o resto R(X).

Passo 2

Começamos dividindo o termo de maior grau de f pelo termo de maior grau de g:
por )Dividindo (X^5 obtemos X^2. Multiplicamos X^3 por g(X) e subtraímos de X^3:
f(X)
menos
X^5-3X^2 -X+3

Passo 3

Agora dividimos o termo de maior grau do novo polinômio por X^2:
por )Dividindo (-2X^4 obtemos X^2. Multiplicamos -2X^2 por g(X) e subtraímos:
-2X^2
menos
-2X^4 +X^3 -3X^2 -X +3

Passo 4

Em seguida,
por )Dividindo (5X^3 obtemos X^2. Multiplicamos 5X por g(X) e subtraímos:
5X
menos
5X^3 -5X^2 -X +3

Passo 5

Por fim,
por )Dividindo (-15X^2 obtemos X^2. Multiplicamos -15 por g(X) e subtraímos:
-15
menos
-15X^2 +4X +3

Passo 6

Como o grau de 34X-12 é menor que o grau de g, encerramos a divisão. O quociente e o resto são obtidos dos coeficientes que computamos em cada passo.

Resposta

Quociente: Q(X)=X^3-2X^2+5X-15; Resto: R(X)=34X-12.

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