Aplique o algorítmo da divisão para os polinômios f(X), g(X) abaixo:
f(X)=X^2+X+3 e g(X)=X^6+2 X^4+3 X in Z7[X]

Passo 1

Temos os polinômios em Z7[X]
f(X)=X^2+X+3, g(X)=X^6+2X^4+3X
Queremos encontrar polinômio quociente Q(X) e resto R(X) tais que
g(X)=f(X),Q(X)+R(X),deg R
Para isso aplicamos o algoritmo da divisão polinomial: a cada passo dividimos o termo de maior grau do resto parcial pelo termo de maior grau de f, multiplicamos f por esse monômio e subtraímos.

Passo 2

No primeiro passo dividimos o termo principal de g, que é X^6, pelo termo principal de f, que é X^2. Assim
X^6,/,X^2=X^4
Multiplicamos
f(X)cdot X^4 = X^6 + X^5 + 3X^4 ext,
e subtraímos de g(X) em Z7:
g(X)-(X^6+X^5+3X^4) = (X^6+2X^4+3X)-(X^6+X^5+3X^4) = 6X^5+6X^4+3X

Passo 3

Agora dividimos 6X^5 (o termo principal do resto) por X^2:
6X^5,/,X^2 = 6X^3
Multiplicamos
f(X)cdot 6X^3 = 6X^5 + 6X^4 + 4X^3 ext,
e subtraímos do resto anterior:
(6X^5+6X^4+3X) - (6X^5+6X^4+4X^3) = 3X^3 + 3X

Passo 4

Em seguida dividimos 3X^3 por X^2:
3X^3,/,X^2 = 3X
Multiplicamos
f(X)cdot 3X = 3X^3 + 3X^2 + 2X ext,
e subtraímos do resto:
(3X^3+3X) - (3X^3+3X^2+2X) = 4X^2 + X

Passo 5

Por fim dividimos 4X^2 por X^2:
4X^2,/,X^2 = 4
Multiplicamos
f(X)cdot 4 = 4X^2 + 4X + 5 ext,
e subtraímos:
(4X^2+X) - (4X^2+4X+5) = 4X+2
Como deg(4X+2)=1<2, encerramos o algoritmo.

Resposta

O quociente da divisão é Q(X)=X^4+6X^3+3X+4 e o resto é R(X)=4X+2 em Z7[X].

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