Sejam
e
anéis comutativos com unidade tais que
.
a. Mostre que
é um subanel de
.
b. Se
com
e dois destes polinômios estão em
, então o terceiro também está em
.
a. Mostre que
b. Se
Passo 1
Beleza, o exercício diz que temos anéis comutativos com unidade
e
com
. Precisamos mostrar duas coisas: (a) que
é subanel de
e (b) que se
em
e dois desses polinômios estão em
, então o terceiro também está em
.
Passo 2
Vamos definir o que é
. Seja
$$B[X]=\bigl{\sum_{i=0}^n b_iX^i\mid b_i\in B,\ n\in\mathbb{N}\bigr}.
$$
Como cada coeficiente vive em
e
, qualquer polinômio em
também é um polinômio em
. Logo
.
Como cada coeficiente
Passo 3
Agora, como
é subanel de
, ela é fechada sob soma, produto e inverso aditivo. Pegue
$$f(X)=\sum_{i=0}^n a_iX^i,\quad g(X)=\sum_{i=0}^m b_iX^i,\quad a_i,b_i\in B.
$$
Então os coeficientes de
são
, e os coeficientes de
são
. Também o inverso
tem coeficientes
. Além disso,
implica a unidade de
está em
. Portanto
é subanel de
.
Então os coeficientes de
Passo 4
Pra parte (b), usamos que
é fechado em soma e inverso. Se
, então
Se
E se
, então
Pronto: em qualquer caso, o terceiro polinômio fica em
Resposta
a)
é subanel de
porque é incluído em
e fechado sob soma, produto e inverso aditivo. b) Se
e dois dos polinômios estão em
, então o terceiro também pertence a
graças ao fecho em soma e inverso.