Sejam A e B anéis comutativos com unidade tais que B subset A.
a. Mostre que B[X] é um subanel de A[X].
b. Se h(X)=f(X)+g(X) com f(X), g(X), h(X) in A[X] e dois destes polinômios estão em B[X], então o terceiro também está em B[X].

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos anéis comutativos com unidade A e B com Bsubset A. Precisamos mostrar duas coisas: (a) que B[X] é subanel de A[X] e (b) que se h(X)=f(X)+g(X) em A[X] e dois desses polinômios estão em B[X], então o terceiro também está em B[X].

Passo 2

Vamos definir o que é B[X]. Seja
$$B[X]=\bigl{\sum_{i=0}^n b_iX^i\mid b_i\in B,\ n\in\mathbb{N}\bigr}.
$$
Como cada coeficiente B[X]=lsumi=0^n biX^imid biin B, ninNr vive em bi e B, qualquer polinômio em Bsubset A também é um polinômio em B[X]. Logo A[X].

Passo 3

Agora, como B é subanel de A, ela é fechada sob soma, produto e inverso aditivo. Pegue
$$f(X)=\sum_{i=0}^n a_iX^i,\quad g(X)=\sum_{i=0}^m b_iX^i,\quad a_i,b_i\in B.
$$
Então os coeficientes de
f(X)=sumi=0^n aiX^i, g(X)=sumi=0^m biX^i, ai,biin B são f+g, e os coeficientes de
ai+biin B são fcdot g. Também o inverso
sumk=0^i akbi-kin B tem coeficientes -f. Além disso, -aiin B implica a unidade de 1in B está em A[X]. Portanto B[X] é subanel de B[X].

Passo 4

Pra parte (b), usamos que B[X] é fechado em soma e inverso. Se f,gin B[X], então
h=f+gin B[X]
Se f,hin B[X], então
g=h-fin B[X]
E se g,hin B[X], então
f=h-gin B[X]
Pronto: em qualquer caso, o terceiro polinômio fica em B[X] também.

Resposta

a) B[X] é subanel de A[X] porque é incluído em A[X] e fechado sob soma, produto e inverso aditivo. b) Se h=f+g e dois dos polinômios estão em B[X], então o terceiro também pertence a B[X] graças ao fecho em soma e inverso.

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