Aplique a Decomposição de Cholesky à matriz simétrica
A=[ccc 3 & 1 & -2 1 & 1 & -3 -2 & -3 & 11 ]
e calcule o elemento na posição (3,2) da matriz L.
Escolha uma opção:
a. I32=-2.
b. I32 cong-2,857.
c. I32=+1.
d. I32 cong 2,857.
e. I32=+2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Decomposição de Cholesky! A questão nos dá uma matriz simétrica A e pede para aplicar a Decomposição de Cholesky nela. O objetivo é encontrar o elemento na posição (3,2) da matriz L , que é a matriz triangular inferior resultante da decomposição. Para isso, vamos precisar entender como a Decomposição de Cholesky funciona e seguir os passos para calcular os elementos de L .

Passo 2

Primeiro, lembremos que a Decomposição de Cholesky é uma maneira de escrever uma matriz simétrica positiva definida como o produto de uma matriz triangular inferior L e sua transposta L^T . Ou seja:
A = L cdot L^T
Isso significa que vamos encontrar uma matriz L onde todos os elementos acima da diagonal são zero, e tal que, quando multiplicamos L pela sua transposta, obtemos a matriz A .

Passo 3

Vamos começar preenchendo a matriz L passo a passo. A matriz A dada é:
A = 3 & 1 & -2 1 & 1 & -3 -2 & -3 & 11
A matriz L terá a forma:
L = l11 & 0 & 0 l21 & l22 & 0 l31 & l32 & l33

Passo 4

Vamos encontrar l11 . Sabemos que:
l11 = raizA11 = raiz3 approx 1,732

Passo 5

Agora, vamos calcular l21 :
l21 = A21l11 = 11,732 approx 0,577

Passo 6

Em seguida, calculamos l22 :
l22 = raizA22 - l21^2 = raiz1 - (0,577)^2 = raiz1 - 0,333 = raiz0,667 approx 0,817

Passo 7

Vamos agora encontrar l31 :
l31 = A31l11 = -21,732 approx -1,155

Passo 8

Por fim, calculamos l32 , que é o elemento que a questão nos pede:
l32 = A32 - l31 cdot l21l22 = -3 - (-1,155 cdot 0,577)0,817
Primeiro, calculamos o numerador:
-3 - (-1,155 cdot 0,577) = -3 + 0,666 approx -2,334
Então:
l32 = -2,3340,817 approx -2,857

Resposta

b. I32 cong -2,857 .

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