(Matrizes ) Escolha a única matriz tal que para toda matriz :
(a) .
(b) .
(c) tem as linhas 1 e 3 de invertidas e a linha 2 inalterada.
(d) Todas as linhas de são iguais à linha 1 de .
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a matriz fixa de modo que, para toda matriz , a produto satisfaça uma dada condição. O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes e uso de matrizes especiais (identidade, nula, permutação).
Passo 2
(a) Queremos para todo . Se escolhermos , então
valendo para qualquer . Unicidade: tomando (base canônica), obtemos , o que força .
Passo 3
(b) Queremos para todo . O lado esquerdo depende de , mas o direito é constante. Apenas se teremos para todo . Logo deve ser a matriz nula.
Passo 4
(c) Deseja-se que em as linhas e de fiquem trocadas e a linha permaneça. Isto equivale a multiplicar `a esquerda pela matriz de permutação que troca :
pois ent~ao a linha i de B,A \u00e9 a combina\u00e7\u00e3o de linhas de A dada por i-\u00e9sima linha de B.
Passo 5
(d) Queremos que todas as linhas de B,A sejam iguais à linha 1 de A. Isso ocorre se e somente se cada linha de B for o vetor (1,0,0), pois multiplicar (1,0,0) pela matriz A extrai a primeira linha de A. Assim