(Matrizes 3 times 3 ) Escolha a única matriz B tal que para toda matriz A :
(a) B A=4 A.
(b) B A=4 B.
(c) B A tem as linhas 1 e 3 de A invertidas e a linha 2 inalterada.
(d) Todas as linhas de B A são iguais à linha 1 de A.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz fixa BinR^3times3 de modo que, para toda matriz AinR^3times3, a produto B,A satisfaça uma dada condição. O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes e uso de matrizes especiais (identidade, nula, permutação).

Passo 2

(a) Queremos B,A=4A para todo A. Se escolhermos B=4I3, então
B,A = (4I3)A = 4( I3 A ) = 4A,
valendo para qualquer A. Unicidade: tomando A=Eij (base canônica), obtemos B,Eij=4Eij, o que força B=4I3.

Passo 3

(b) Queremos B,A=4B para todo A. O lado esquerdo depende de A, mas o direito é constante. Apenas se B=0 teremos B,A=0=4B para todo A. Logo B deve ser a matriz nula.

Passo 4

(c) Deseja-se que em B,A as linhas 1 e 3 de A fiquem trocadas e a linha 2 permaneça. Isto equivale a multiplicar `a esquerda pela matriz de permutação que troca 1 rightarrow 3:
B= 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 ,
pois ent~ao a linha i de B,A \u00e9 a combina\u00e7\u00e3o de linhas de A dada por i-\u00e9sima linha de B.

Passo 5

(d) Queremos que todas as linhas de B,A sejam iguais à linha 1 de A. Isso ocorre se e somente se cada linha de B for o vetor (1,0,0), pois multiplicar (1,0,0) pela matriz A extrai a primeira linha de A. Assim
B= 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0

Resposta

(a)
B = 4I3 = 4 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
(b)
B = 03times3
(c)
B = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0
(d)
B = 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0

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