Verdadeiro ou falso. Dê um exemplo específico quando for falso:
(a) Se as colunas 1 e 3 de B forem as mesmas, então as colunas 1 e 3 de A B também serão as mesmas.
(b) Se as linhas 1 e 3 de B forem as mesmas, então as linhas 1 e 3 de A B também serão as mesmas.
(c) Se as linhas 1 e 3 de A forem as mesmas, então as linhas 1 e 3 de A B C também serão as mesmas.
(d) (A B)^2=A^2 B^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar quatro afirmações sobre produtos de matrizes, usando a ideia de que cada coluna de AB é A vezes a coluna correspondente de B e que cada linha de AB é a linha correspondente de A vezes B. Também pergunta sobre a identidade (AB)^2 = A^2 B^2.

Passo 2

(a) Cada coluna j de AB é dada por
(AB):,j=A,(B:,j)
Se as colunas 1 e 3 de B são iguais, digamos B:,1=B:,3, então
(AB):,1=A,B:,1=A,B:,3=(AB):,3
Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 3

(b) A linha i de AB é
(AB)i,:=(Ai,:),B
As linhas de B aparecem apenas dentro desse produto, mas não de forma isolada. Podemos ter linhas 1 e 3 de B iguais, mas coeficientes diferentes em A que as combinem de modo distinto. Por exemplo, seja
A= 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 , B= 1 & 0 0 & 0 1 & 0
Aqui a linha 1 e a linha 3 de B são iguais l((1,0)r), mas
(AB)1,:=(1,0,0),B=(1,0), (AB)3,:=(0,0,3),B=3,(1,0)=(3,0),
que são diferentes. Logo a afirmação é falsa.

Passo 4

(c) Agora consideramos ABC. Primeiro computamos BC, mas o que importa é que
(ABC)i,:=(Ai,:),(BC)
Se as linhas 1 e 3 de A são iguais, digamos A1,:=A3,:, então
(ABC)1,:=A1,:,(BC)=A3,:,(BC)=(ABC)3,:
Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 5

(d) Em geral (AB)^2=ABAB não é igual a A^2B^2=AA,BB a menos que A e B comutem. Um contraexemplo clássico é
A=0 & 10 & 0, B=0 & 01 & 0
Então
AB=1 & 00 & 0, (AB)^2=1 & 00 & 0,
enquanto
A^2=0 & 00 & 0, B^2=0 & 00 & 0, A^2B^2=0 & 00 & 0
Portanto (AB)^2neq A^2B^2 e a afirmação é falsa.

Resposta

(a) Verdadeiro
(b) Falso. Exemplo no passo 3.
(c) Verdadeiro
(d) Falso. Exemplo no passo 5.

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