Se você faz uma operação de linha em
e depois uma operação de coluna, o resultado é o mesmo que se você tivesse feito a operação de coluna primeiro. Por que isso é verdade?
Passo 1
O enunciado afirma que, dado uma matriz
, aplicar primeiro uma operação de linha e depois uma operação de coluna produz o mesmo resultado do que aplicar primeiro a operação de coluna e depois a de linha. O conteúdo aqui é a representação das operações elementares por multiplicações de matrizes: operação de linha corresponde a multiplicar à esquerda por uma matriz elementar, e operação de coluna a multiplicar à direita por outra matriz elementar.
Passo 2
Seja
a matriz elementar que implementa a operação de linha desejada e
a matriz elementar que implementa a operação de coluna desejada. Quando fazemos a operação de linha em
, obtemos
Em seguida, aplicar a operação de coluna nesse resultado equivale a
Passo 3
Pela associatividade da multiplicação de matrizes, temos
Mas
é exatamente o resultado de aplicar primeiro a operação de coluna em
, e então multiplicar esse resultado por
à esquerda corresponde a aplicar a operação de linha em seguida. Logo ambas as sequências de operações levam ao produto único
Resposta
Como operação de linha é multiplicar por uma matriz elementar à esquerda e operação de coluna é multiplicar por outra à direita, pela associatividade das multiplicações vale
portanto a ordem em que fazemos a operação de linha e a de coluna não altera o resultado final.