Se você faz uma operação de linha em A e depois uma operação de coluna, o resultado é o mesmo que se você tivesse feito a operação de coluna primeiro. Por que isso é verdade?

Passo 1

O enunciado afirma que, dado uma matriz A, aplicar primeiro uma operação de linha e depois uma operação de coluna produz o mesmo resultado do que aplicar primeiro a operação de coluna e depois a de linha. O conteúdo aqui é a representação das operações elementares por multiplicações de matrizes: operação de linha corresponde a multiplicar à esquerda por uma matriz elementar, e operação de coluna a multiplicar à direita por outra matriz elementar.

Passo 2

Seja E a matriz elementar que implementa a operação de linha desejada e F a matriz elementar que implementa a operação de coluna desejada. Quando fazemos a operação de linha em A, obtemos
E,A
Em seguida, aplicar a operação de coluna nesse resultado equivale a
(E,A),F

Passo 3

Pela associatividade da multiplicação de matrizes, temos
(E,A),F ;=; E,(A,F)
Mas A,F é exatamente o resultado de aplicar primeiro a operação de coluna em A, e então multiplicar esse resultado por E à esquerda corresponde a aplicar a operação de linha em seguida. Logo ambas as sequências de operações levam ao produto único
E,A,F

Resposta

Como operação de linha é multiplicar por uma matriz elementar à esquerda e operação de coluna é multiplicar por outra à direita, pela associatividade das multiplicações vale
(E,A),F ;=; E,(A,F),
portanto a ordem em que fazemos a operação de linha e a de coluna não altera o resultado final.

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