Aplique a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
Determine
.
Determine
Passo 1
O enunciado pede para aplicar a definição e encontrar a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função para
é . - Deve-se usar a definição da transformada de Laplace e indicar a região de convergência (valores de
que tornam a integral convergente).
Passo 2
Recordando a definição da transformada de Laplace: para uma função
definida em
,
onde
é o parâmetro (tipicamente complexo). Essa integral é imprópria e só converge quando o integrando decai rápido o suficiente; vamos verificar isso no nosso caso.
Passo 3
Substituindo
na definição:
Colocando o constante
fora da integral:
Passo 4
Combine os expoentes:
Portanto a integral fica
Para que essa integral convirja como
é necessário que a parte real do coeficiente de
no expoente seja positiva, ou seja, que
. Isso equivale a
. (Se
for real, exige-se
.)
Passo 5
Agora avaliamos a integral imprópria. Para
com
vale a fórmula
porque
quando
. Aqui temos
, logo
Multiplicando pelo fator
,
Passo 6
Interpretação final e dica rápida: a transformada de
é
para
. Se a função é
(constante
multiplicando), a transformada é
vezes isso. No nosso caso
e
, resultando em
com região de convergência
.