Aplique a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
Determine
f(t)=2 e^{5 t}.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar a definição e encontrar a transformada de Laplace da função f(t)=2 e^{5 t}.
Informações dadas:
  • A função para t\ge 0 é f(t)=2 e^{5 t}.
  • Deve-se usar a definição da transformada de Laplace e indicar a região de convergência (valores de s que tornam a integral convergente).

Passo 2

Recordando a definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) definida em t\ge 0,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt,
onde s é o parâmetro (tipicamente complexo). Essa integral é imprópria e só converge quando o integrando decai rápido o suficiente; vamos verificar isso no nosso caso.

Passo 3

Substituindo f(t)=2 e^{5 t} na definição:
\mathcal{L}\{2 e^{5 t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cdot 2 e^{5 t}\,dt.
Colocando o constante 2 fora da integral:
\mathcal{L}\{2 e^{5 t}\}(s)=2\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{5 t}\,dt.

Passo 4

Combine os expoentes:
e^{-s t} e^{5 t}=e^{-(s-5)t}.
Portanto a integral fica
\mathcal{L}\{2 e^{5 t}\}(s)=2\int_{0}^{\infty} e^{-(s-5)t}\,dt.
Para que essa integral convirja como t\to\infty é necessário que a parte real do coeficiente de t no expoente seja positiva, ou seja, que \Re(s-5)>0. Isso equivale a \Re(s)>5. (Se s for real, exige-se s>5.)

Passo 5

Agora avaliamos a integral imprópria. Para a com \Re(a)>0 vale a fórmula
\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,dt=\left[\frac{-1}{a}e^{-a t}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{a},
porque e^{-a t}\to 0 quando t\to\infty. Aqui temos a=s-5, logo
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-5)t}\,dt=\frac{1}{s-5},\qquad \Re(s)>5.
Multiplicando pelo fator 2,
\mathcal{L}\{2 e^{5 t}\}(s)=2\cdot\frac{1}{s-5}=\frac{2}{s-5},\qquad \Re(s)>5.

Passo 6

Interpretação final e dica rápida: a transformada de \,e^{a t}\, é \dfrac{1}{s-a} para \Re(s)>a. Se a função é C\,e^{a t} (constante C multiplicando), a transformada é C vezes isso. No nosso caso C=2 e a=5, resultando em \dfrac{2}{s-5} com região de convergência \Re(s)>5.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{2 e^{5 t}\}(s)=\frac{2}{s-5},\qquad \Re(s)>5

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