Aplique a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=7.

Passo 1

O enunciado pede: aplicar a definição da transformada de Laplace e encontrar a transformada da função f(t)=7. Informações dadas:
  • A função é f(t)=7 para t\ge 0 (presume-se o domínio padrão para Laplace).
  • Precisa-se usar a definição da transformada de Laplace, ou seja calcular a integral imprópria correspondente.

Passo 2

Lembrete da definição (aula rápida): a transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt,
onde s é, em geral, um número complexo. Na prática, para verificar convergência dessa integral normalmente exigimos que a parte real de s seja suficientemente grande (ex.: \Re(s)>a para algum a). A ideia: o fator e^{-st} atua como um amortecedor que faz a integral convergir se decair rápido o bastante quando t\to\infty.

Passo 3

Substituir f(t)=7 na definição. Usando propriedade da integral (fator constante) temos
\mathcal{L}\{7\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cdot 7\,dt =7\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
Aqui expliquei o passo: posso tirar o 7 para fora porque é constante em relação a t.

Passo 4

Calcular a integral imprópria \int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt. Primeiro, integro como uma integral usual (assumindo \Re(s)>0 para garantir decaimento):
\int e^{-s t}\,dt = -\frac{1}{s}e^{-s t} + C,
pois a derivada de -\frac{1}{s}e^{-s t} em relação a t é e^{-s t}. Agora aplico os limites de 0 a \infty:
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt = \lim_{T\to\infty}\left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{t=0}^{t=T} = \lim_{T\to\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-s T} + \frac{1}{s}e^{-s\cdot 0}\right).
Avalio os termos: e^{-s\cdot 0}=1. O termo e^{-s T} tende a 0 quando T\to\infty sempre que \Re(s)>0. Portanto
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt = 0 + \frac{1}{s} = \frac{1}{s},
válido para \Re(s)>0.

Passo 5

Volto à transformada com o fator 7:
\mathcal{L}\{7\}(s) = 7\cdot\frac{1}{s} = \frac{7}{s},
com região de convergência \Re(s)>0. Comentário didático rápido: isso é consistente com a transformada conhecida de 1, que é \mathcal{L}\{1\}(s)=\dfrac{1}{s}; multiplicando a função por 7 multiplica a transformada por 7.

Passo 6

Resumo prático para a prova: ao ver uma constante c, lembre que \mathcal{L}\{c\}(s)=\dfrac{c}{s} para \Re(s)>0. Assim, decorar essa regra e saber justificar rapidamente com a integral é suficiente.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{s},\\ \text{para }\Re(s)>0

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