Aplique a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede: aplicar a definição da transformada de Laplace e encontrar a transformada da função
. Informações dadas:
- A função é
para (presume-se o domínio padrão para Laplace). - Precisa-se usar a definição da transformada de Laplace, ou seja calcular a integral imprópria correspondente.
Passo 2
Lembrete da definição (aula rápida): a transformada de Laplace de uma função
é definida por
onde
é, em geral, um número complexo. Na prática, para verificar convergência dessa integral normalmente exigimos que a parte real de
seja suficientemente grande (ex.:
para algum
). A ideia: o fator
atua como um amortecedor que faz a integral convergir se decair rápido o bastante quando
.
Passo 3
Substituir
na definição. Usando propriedade da integral (fator constante) temos
Aqui expliquei o passo: posso tirar o
para fora porque é constante em relação a
.
Passo 4
Calcular a integral imprópria
. Primeiro, integro como uma integral usual (assumindo
para garantir decaimento):
pois a derivada de
em relação a
é
. Agora aplico os limites de
a
:
Avalio os termos:
. O termo
tende a
quando
sempre que
. Portanto
válido para
.
Passo 5
Volto à transformada com o fator
:
com região de convergência
. Comentário didático rápido: isso é consistente com a transformada conhecida de
, que é
; multiplicando a função por
multiplica a transformada por
.
Passo 6
Resumo prático para a prova: ao ver uma constante
, lembre que
para
. Assim, decorar essa regra e saber justificar rapidamente com a integral é suficiente.