Aplique a definição de integral de linha para determinar L=\int_{C} G . d \alpha, em que G(x, y, z)=(z, x, y) e C é a curva parametrizada por \alpha(t)=\left(t^{2}, t^{3}, t^{2}\right), com -1 \leq t \leq 2
b) Calcule \operatorname{rot}(G) e \operatorname{div}(G)
Resp: a) L=

Passo 1

O enunciado pede o integral de linha
\displaystyle L=\int_{C}G\cdot d\alpha
onde G(x,y,z)=(z,x,y) e C é dado pela parametrização
\alpha(t) = \bigl(t^2,\;t^3,\;t^2\bigr),\quad -1\le t\le2.
Além disso, na parte (b) precisamos calcular o rotor \operatorname{rot}(G) e a divergência \operatorname{div}(G). Para isso usaremos as definições
\alpha'(t)=\frac{d\alpha}{dt},\quad \operatorname{rot}(G)=\nabla\times G,\quad \operatorname{div}(G)=\nabla\cdot G.

Passo 2

Calcular a derivada da parametrização:
\alpha'(t) =\frac{d}{dt}\bigl(t^2,t^3,t^2\bigr) =\bigl(2t,\;3t^2,\;2t\bigr).

Passo 3

Avaliar o campo G ao longo de \alpha(t):
G\bigl(\alpha(t)\bigr) =G\bigl(x=t^2,\;y=t^3,\;z=t^2\bigr) =\bigl(z,\;x,\;y\bigr) =\bigl(t^2,\;t^2,\;t^3\bigr).

Passo 4

Fazer o produto escalar G(\alpha(t))\cdot\alpha'(t):
G(\alpha(t))\cdot\alpha'(t) =(t^2)\,(2t)+(t^2)\,(3t^2)+(t^3)\,(2t) =2t^3+3t^4+2t^4 =2t^3+5t^4.

Passo 5

Integrar de t=-1 a t=2:
L=\int_{-1}^{2}\bigl(2t^3+5t^4\bigr)\,dt =\int_{-1}^{2}2t^3\,dt+\int_{-1}^{2}5t^4\,dt =\Bigl[\tfrac{t^4}{2}\Bigr]_{-1}^{2}+\Bigl[t^5\Bigr]_{-1}^{2}.
Calculando:
\Bigl[\tfrac{t^4}{2}\Bigr]_{-1}^{2} =\frac{2^4}{2}-\frac{(-1)^4}{2} =8-\tfrac12 =\tfrac{15}{2}, \quad \Bigl[t^5\Bigr]_{-1}^{2} =2^5-(-1)^5 =32-(-1) =33,
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L=\tfrac{15}{2}+33=\tfrac{15+66}{2}=\tfrac{81}{2}.

Passo 6

Calcular \operatorname{rot}(G) e \operatorname{div}(G). Para G=(P,Q,R)=(z,x,y):
\operatorname{rot}(G) =\nabla\times G =\bigl(R_y-Q_z,\;P_z-R_x,\;Q_x-P_y\bigr).
Computando derivadas parciais:
R_y=\frac{\partial y}{\partial y}=1,\quad Q_z=\frac{\partial x}{\partial z}=0, \quad P_z=\frac{\partial z}{\partial z}=1,\quad R_x=\frac{\partial y}{\partial x}=0, \quad Q_x=\frac{\partial x}{\partial x}=1,\quad P_y=\frac{\partial z}{\partial y}=0.
Portanto
\operatorname{rot}(G)=(1-0,\;1-0,\;1-0)=(1,1,1).
E a divergência:
\operatorname{div}(G) =\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} =\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial x}{\partial y}+\frac{\partial y}{\partial z} =0+0+0=0.

Resposta

a) \displaystyle L=\frac{81}{2}.
b) \displaystyle \operatorname{rot}(G)=(1,1,1),\quad \operatorname{div}(G)=0.

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