Relativamente à integral de linha \int_{C} H \cdot d r, em que H é o campo vetorial H(x, y, z)=\left(x y z, 3 x y^{2}, 4 z^{3}\right) e C é uma curva com ponto inicial em A(0,0,0) e ponto final em B(3,1,2), marque como V ou F justificando apenas os itens falsos:
a) ( ) Hé um campo conservativo
b) () g(x, y, z)=x^{2} y^{3} z^{4} é uma funçăo potencial de H
c) ( ) Só com esses dados, não é possível calcular a \int_{C} H \cdot d r

Passo 1

O enunciado trata da integral de linha
\int_{C}H\cdot d r
onde
H(x,y,z)=\bigl(x\,y\,z,\;3\,x\,y^{2},\;4\,z^{3}\bigr)
e C vai de A(0,0,0) a B(3,1,2). O conteúdo envolvido é campo conservativo (curl), função potencial (gradiente) e dependência de caminho para a integral de linha.

Passo 2

Para verificar se H é conservativo, calculamos \nabla\times H. Escrevendo H=(P,Q,R):
(\nabla\times H)_1=\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} =0-0=0,
(\nabla\times H)_2=\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} =x\,y-0=x\,y\neq0\\ \text{em geral},
(\nabla\times H)_3=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =3\,y^{2}-x\,z\neq0\\ \text{em geral}.
Como \nabla\times H\neq0, H não é conservativo. Logo, o item (a) é FALSO.

Passo 3

Para testar g(x,y,z)=x^{2}y^{3}z^{4} como potencial, calculamos \nabla g:
\nabla g=\bigl(2x\,y^{3}z^{4},\;3x^{2}y^{2}z^{4},\;4x^{2}y^{3}z^{3}\bigr).
Isso difere de H=(x\,y\,z,\;3\,x\,y^{2},\;4\,z^{3}). Portanto g não é função potencial de H, e o item (b) é FALSO.

Passo 4

Como H não é conservativo, a integral
\int_{C}H\cdot d r
depende do caminho C. Com apenas os pontos inicial e final, sem especificar C, não podemos determinar o valor da integral. Assim, o item (c) é VERDADEIRO.

Resposta

a) F
b) F
c) V

Exercícios relacionados