QUESTÃO 04 : Analise a convergência das séries
\left(2\right. pontos) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}+n+1}{\sqrt{n^{8}+n^{2}+1}}\

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}+n+1}{\sqrt{n^{8}+n^{2}+1}}.
O conteúdo aqui é testes de convergência de séries numéricas, em particular usar o teste da comparação por equivalência assintótica ou o teste da comparação limite.

Passo 2

Para ver o comportamento de a_{n}=\frac{n^{3}+n+1}{\sqrt{n^{8}+n^{2}+1}} quando n\to\infty, fatoramos termos de maior grau:
a_{n} = \frac{n^{3}\bigl(1 + \tfrac{1}{n^{2}} + \tfrac{1}{n^{3}}\bigr)}{n^{4}\sqrt{1 + \tfrac{1}{n^{6}} + \tfrac{1}{n^{8}}}} = \frac{1 + \tfrac{1}{n^{2}} + \tfrac{1}{n^{3}}}{n\,\sqrt{1 + \tfrac{1}{n^{6}} + \tfrac{1}{n^{8}}}}.
Quando n\to\infty, os termos \tfrac1{n^{2}}, \tfrac1{n^{3}}, \tfrac1{n^{6}} e \tfrac1{n^{8}} tendem a zero, então
a_{n}\sim \frac{1}{n}.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação limite com a série harmônica \sum 1/n. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{1/n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n^{3}+n+1}{\sqrt{n^{8}+n^{2}+1}}}{1/n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{4}+n^{2}+n}{n^{4}\sqrt{1 + \tfrac{1}{n^{6}} + \tfrac{1}{n^{8}}}} = 1.
Como esse limite é um número finito e positivo, as duas séries têm o mesmo comportamento quanto à convergência.

Passo 4

A série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}1/n é divergente. Logo, pela comparação limite, a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}+n+1}{\sqrt{n^{8}+n^{2}+1}}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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