QUESTÃO 05 : ( 5 pontos) Encontre o raio e o intervalo de convergência da série \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{e^{n} x^{n}}{n^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{e^{n}x^{n}}{n^{2}}.
O conteúdo necessário é o teste da raiz (ou razão) para encontrar o raio de convergência e, em seguida, verificar a convergência nos extremos do intervalo.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz considerando o termo geral
a_{n}x^{n}\quad\text{com}\quad a_{n}=(-1)^{n}\frac{e^{n}}{n^{2}}.
Calculamos
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_{n}x^{n}\bigr|} =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{e^{n}|x|^{n}}{n^{2}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{e\,|x|}{\bigl(n^{2}\bigr)^{1/n}} =e\,|x|.
Para convergir precisamos de
e\,|x|<1\quad\Longrightarrow\quad |x|<\frac{1}{e}.
Logo, o raio de convergência é
R=\frac{1}{e}.

Passo 3

Analisamos a convergência em x=1/e. Nesse caso o termo geral vira
(-1)^{n}\frac{e^{n}}{n^{2}}\Bigl(\frac{1}{e}\Bigr)^{n} =\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.
Como \sum1/n^{2} converge (série p-com p=2>1), a nossa converge absolutamente em x=1/e.

Passo 4

Analisamos agora x=-1/e. O termo geral fica
(-1)^{n}\frac{e^{n}}{n^{2}}\Bigl(-\frac{1}{e}\Bigr)^{n} =\frac{(-1)^{n}(-1)^{n}}{n^{2}} =\frac{1}{n^{2}}.
Novamente obtemos \sum1/n^{2}, que converge. Então a série converge em x=-1/e.

Resposta

O raio de convergência é R=1/e e o intervalo de convergência é
\bigl[-\tfrac{1}{e},\,\tfrac{1}{e}\bigr].

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