Um objeto se move no plano segundo a trajetória dada pela curva C de equação r(t)=\left(2 \operatorname{sen}(t) e^{\cos (t)}, \cos (t)\right), com t \in\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]. Sobre ele atua uma força de equação F(x, y)=\left(2 x e^{y}+y, x^{2} e^{y}+x-2 y\right) . F é calculada em Newtons, N, e a distância em metros, m. Relativo a esta situação, mostre que:
a) A força F é conservativa
b) \varphi(x, y)=x^{2} e^{y}+y x-y^{2} é uma função potencial de F
c) O trabalho realizado por F do ponto inicial ao ponto final da curva C é igual a -5 J ( \mathrm{J}= Joule)

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula que se move segundo a curva
C:\;r(t)=\bigl(2\sin(t)e^{\cos(t)},\;\cos(t)\bigr),\quad t\in\bigl[\tfrac\pi2,\pi\bigr]
e sobre ela atua a força
F(x,y)=\bigl(2x\,e^{y}+y,\;x^{2}e^{y}+x-2y\bigr).
O conteúdo é teoria de campos vetoriais conservativos: para mostrar que F é conservativa, achar uma função potencial \varphi e usar que o trabalho é a variação de \varphi entre os extremos de C.

Passo 2

Para verificar que F=(P,Q) é conservativa em \mathbb{R}^2 (que é simplesmente conexo), calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x\,e^{y}+y\bigr) =2x\,e^{y}+1,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}e^{y}+x-2y\bigr) =2x\,e^{y}+1.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, F é conservativa.

Passo 3

Procuramos \varphi(x,y) tal que
\displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial x}=P=2x\,e^{y}+y.
Integramos em x:
\varphi(x,y) =\int\bigl(2x\,e^{y}+y\bigr)\,dx =x^{2}e^{y}+xy+g(y),
onde g(y) é função a determinar. Então
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =x^{2}e^{y}+x+g'(y) \stackrel{!}{=}Q=x^{2}e^{y}+x-2y
implica g'(y)=-2y, logo g(y)=-y^{2}+C. Tomando C=0 para simplicidade,
\varphi(x,y)=x^{2}e^{y}+xy-y^{2}.

Passo 4

Os pontos inicial e final da curva são
r\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=(2\sin\tfrac\pi2\,e^{\cos\tfrac\pi2},\cos\tfrac\pi2)=(2,0),
r(\pi)=(2\sin\pi\,e^{\cos\pi},\cos\pi)=(0,-1).

Passo 5

O trabalho realizado por F ao longo de C é
W =\varphi\bigl(r(\pi)\bigr)-\varphi\bigl(r(\tfrac\pi2)\bigr) =\varphi(0,-1)-\varphi(2,0).
Calculando:
\varphi(0,-1) =0^{2}e^{-1}+0\cdot(-1)-(-1)^{2}=-1, \quad \varphi(2,0) =2^{2}e^{0}+2\cdot0-0=4,
portanto
W=-1-4=-5\quad\text{J}.

Resposta

a) F é conservativa.
b) \varphi(x,y)=x^{2}e^{y}+xy-y^{2} é função potencial de F.
c) O trabalho é W=-5 J.

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