Um objeto se move no plano segundo a trajetória dada pela curva
de equação
, com
. Sobre ele atua uma força de equação
é calculada em Newtons,
, e a distância em metros,
. Relativo a esta situação, mostre que:
a) A força
é conservativa
b)
é uma função potencial de
c) O trabalho realizado por
do ponto inicial ao ponto final da curva
é igual a -5 J (
Joule)
a) A força
b)
c) O trabalho realizado por
Passo 1
O enunciado descreve uma partícula que se move segundo a curva
e sobre ela atua a força
O conteúdo é teoria de campos vetoriais conservativos: para mostrar que
é conservativa, achar uma função potencial
e usar que o trabalho é a variação de
entre os extremos de
.
Passo 2
Para verificar que
é conservativa em
(que é simplesmente conexo), calculamos
Como
,
é conservativa.
Passo 3
Procuramos
tal que
.
Integramos em :
Integramos em
onde
é função a determinar. Então
implica
, logo
. Tomando
para simplicidade,
Passo 4
Os pontos inicial e final da curva são
Passo 5
O trabalho realizado por
ao longo de
é
Calculando:
portanto
Resposta
a)
é conservativa.
b) é função potencial de
.
c) O trabalho é J.
b)
c) O trabalho é