Aplique a definição de transformada de Laplace para encontrar diretamente as transformada de Laplace das funções descritas abaixo.
f(t)=\sqrt{t}+3 t;

Passo 1

O enunciado nos pede a transformada de Laplace de f(t)=\sqrt{t}+3t. O conteúdo principal é a definição da transformada de Laplace e o uso de integrais impróprias, recorrendo à função Gama para a parte envolvendo t^{1/2}.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace é
\mathcal L\{f(t)\}(s) \;=\;\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
Vamos aplicar essa definição separadamente a \sqrt{t} e a 3t.

Passo 3

Para \sqrt{t}=t^{1/2}, temos
\mathcal L\{t^{1/2}\}(s) =\int_{0}^{\infty}t^{1/2}e^{-st}\,dt.
Fazendo u=st, então t=u/s e dt=du/s. Logo,
\int_{0}^{\infty}\Bigl(\frac{u}{s}\Bigr)^{1/2}e^{-u}\frac{du}{s} = s^{-3/2}\int_{0}^{\infty}u^{1/2}e^{-u}\,du = s^{-3/2}\Gamma\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr).
Como \Gamma\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi}, segue
\mathcal L\{\sqrt{t}\}(s) =\frac{\sqrt{\pi}}{2\,s^{3/2}}.

Passo 4

Para 3t, usamos linearidade:
\mathcal L\{3t\}(s) =3\int_{0}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt.
Sabe-se que
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt =\frac{1}{s^{2}},
logo
\mathcal L\{3t\}(s) =\frac{3}{s^{2}}.

Passo 5

Somando os resultados,
\mathcal L\{\,\sqrt{t}+3t\,\}(s) =\frac{\sqrt{\pi}}{2\,s^{3/2}}+\frac{3}{s^{2}}.

Resposta

\mathcal L\{\,\sqrt{t}+3t\,\}(s) =\frac{\sqrt{\pi}}{2\,s^{3/2}}+\frac{3}{s^{2}}.

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