\iint_{\Sigma} \vec{G} \cdot d \vec{S}=?
\vec{G}(x, y, z)=\left(h_{1}(y, z), h_{2}(x, z), x^{2}+y\right)
Onde:
  • \Sigma é a superfície x^{2}+y^{2}-z^{2}=1
  • com -2 \leq z \leq 1
Escolha a orientação

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{\Sigma}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{S},
onde
\mathbf{G}(x,y,z)=\bigl(h_{1}(y,z),\,h_{2}(x,z),\,x^{2}+y\bigr)
e \Sigma é a parte da superfície
x^{2}+y^{2}-z^{2}=1,\quad -2\le z\le1,
orientada segundo a normal “para fora” do volume limitado pela casca \Sigma e pelos discos planos em z=1 e z=-2. Vamos aplicar o Teorema da Divergência.

Passo 2

Calcular \nabla\cdot\mathbf{G}.
Em coordenadas cartesianas,
\nabla\cdot\mathbf{G} =\frac{\partial}{\partial x}h_{1}(y,z) +\frac{\partial}{\partial y}h_{2}(x,z) +\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}+y).
Como h_{1} não depende de x, h_{2} não depende de y e x^{2}+y não depende de z, vem
\nabla\cdot\mathbf{G}=0+0+0=0.

Passo 3

Fechamos a superfície lateral \Sigma com os dois discos planos:
  • Disco superior D_{1} em z=1, x^{2}+y^{2}\le1+1^{2}=2, normal \mathbf{n}_{1}=(0,0,1).
  • Disco inferior D_{2} em z=-2, x^{2}+y^{2}\le1+(-2)^{2}=5, normal \mathbf{n}_{2}=(0,0,-1).
    Pelo Teorema da Divergência aplicado ao volume V fechado por \Sigma\cup D_{1}\cup D_{2},
\iint_{\Sigma}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{S} +\iint_{D_{1}}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{S} +\iint_{D_{2}}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{S} =\iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{G})\,dV=0.

Passo 4

Fluxo nos discos. Em cada disco \mathbf{G}\cdot\mathbf{n}=(x^{2}+y)\,\mathbf{n}_{z}.
Para D_{1} (em z=1, \mathbf{n}_{1,z}=+1):
\iint_{D_{1}}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{S} =\iint_{x^{2}+y^{2}\le2}(x^{2}+y)\,dA.
Para D_{2} (em z=-2, \mathbf{n}_{2,z}=-1):
\iint_{D_{2}}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{S} =\iint_{x^{2}+y^{2}\le5}-(x^{2}+y)\,dA.

Passo 5

Calcular \displaystyle\iint_{x^{2}+y^{2}\le R^{2}}(x^{2}+y)\,dA.
Por simetria, \iint y\,dA=0. E
\iint_{x^{2}+y^{2}\le R^{2}}x^{2}\,dA =\frac{\pi R^{4}}{4}.
Logo
\iint_{D_{1}}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{S} =\frac{\pi\,( \sqrt{2}\,)^{4}}{4} =\frac{\pi\cdot4}{4}=\pi,
\iint_{D_{2}}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{S} =-\frac{\pi\,( \sqrt{5}\,)^{4}}{4} =-\frac{\pi\cdot25}{4}=-\frac{25\pi}{4}.

Passo 6

Do Teorema da Divergência:
\iint_{\Sigma}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{S} =-\Bigl(\iint_{D_{1}}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{S} +\iint_{D_{2}}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{S}\Bigr) =-\Bigl(\pi -\tfrac{25\pi}{4}\Bigr) =\frac{21\pi}{4}.

Resposta

\iint_{\Sigma}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{S} =\frac{21\pi}{4}.

Exercícios relacionados