\iint_{\Sigma} \vec{G} \cdot d \vec{S}=?
\vec{G}(x, y, z)=\left(h_{1}(y, z), h_{2}(x, z), x^{2}+y\right)
Onde:
  • \Sigma é a superfície x^{2}+y^{2}-z^{3}=1,
  • com -2 \leq z \leq 1
Escolha a orientação

Passo 1

O problema pede o fluxo
\iint_{\Sigma}\vec G\cdot d\vec S
onde
\vec G(x,y,z)=\bigl(h_{1}(y,z),\,h_{2}(x,z),\,x^{2}+y\bigr)
e \Sigma é a superfície dada por
x^{2}+y^{2}-z^{3}=1,\quad -2\le z\le1,
orientada “para fora” de um volume interno. Vamos usar o Teorema da Divergência fechando \Sigma com o disco no plano z=1.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec G:
\divergence \vec G =\frac{\partial}{\partial x}h_{1}(y,z) +\frac{\partial}{\partial y}h_{2}(x,z) +\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}+y) =0+0+0=0.
Como \divergence\vec G=0, o fluxo através da superfície fechada (lateral \Sigma mais o disco D em z=1) é zero:
\iint_{\Sigma}\vec G\cdot d\vec S +\iint_{D}\vec G\cdot d\vec S =0.

Passo 3

Identificamos D como o disco de raio \sqrt{2} em z=1, pois na interseção
x^{2}+y^{2}-1^{3}=1\quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}=2.
Para o disco, o normal externo ao volume é \vec n=(0,0,1), e em z=1 temos
\vec G=(h_{1}(y,1),\,h_{2}(x,1),\,x^{2}+y)
logo
\vec G\cdot \vec n =x^{2}+y.
Assim,
\iint_{D}\vec G\cdot d\vec S =\iint_{x^{2}+y^{2}\le2}(x^{2}+y)\,dA.

Passo 4

Separamos em duas integrais:
\iint_{D}x^{2}\,dA \quad\text{e}\quad \iint_{D}y\,dA.
Usando coordenadas polares:
\iint_{D}x^{2}\,dA =\int_{0}^{2\pi}\!\!\cos^{2}\theta\,d\theta \int_{0}^{\sqrt2}r^{2}\,dr =\pi\cdot\frac{(\sqrt2)^{3}}{3} =\frac{2\sqrt2\,\pi}{3},
\iint_{D}y\,dA =\int_{0}^{2\pi}\!\!\sin\theta\,d\theta \int_{0}^{\sqrt2}r^{2}\,dr =0 \quad(\text{por simetria}).
Logo
\iint_{D}\vec G\cdot d\vec S =\frac{2\sqrt2\,\pi}{3}.

Passo 5

Como o fluxo total da superfície fechada é zero,
\iint_{\Sigma}\vec G\cdot d\vec S =-\iint_{D}\vec G\cdot d\vec S =-\frac{2\sqrt2\,\pi}{3}.

Resposta

\iint_{\Sigma}\vec G\cdot d\vec S =-\frac{2\sqrt2\,\pi}{3}.

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