Aplique a definição de transformada de Laplace para encontrar diretamente as transformada de Laplace das funções descritas abaixo.
f(t)=t-2 e^{3 t};

Passo 1

O enunciado pede para calcular diretamente, pela definição \mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt,
a transformada de Laplace da função
f(t)=t-2e^{3t}.
Vamos precisar usar a propriedade da integral linear e, para o termo t, aplicar integração por partes.

Passo 2

Pela linearidade da transformada de Laplace, escrevemos
\mathcal{L}\{f(t)\} =\int_{0}^{\infty}\bigl(t-2e^{3t}\bigr)e^{-st}\,dt =\int_{0}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt -2\int_{0}^{\infty}e^{3t}\,e^{-st}\,dt.

Passo 3

Calculemos primeiro \displaystyle\int_{0}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt.
Usando integração por partes, seja
u=t,\quad dv=e^{-st}\,dt,
du=dt,\quad v=-\frac{1}{s}e^{-st}.
Logo,
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt =\Bigl[-\frac{t}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{\infty} +\int_{0}^{\infty}\frac{1}{s}e^{-st}\,dt.
O termo de fronteira vai a zero e sobra
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt =\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,dt =\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s} =\frac{1}{s^{2}}.

Passo 4

Agora calculemos \displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{3t}e^{-st}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-(s-3)t}\,dt.
Para \Re(s)>3 temos
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-3)t}\,dt =\frac{1}{s-3}.
Multiplicando por -2 obtém-se
-2\int_{0}^{\infty}e^{3t}e^{-st}\,dt =-\frac{2}{s-3}.

Passo 5

Somando os dois resultados, concluímos que
\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{1}{s^{2}}-\frac{2}{s-3},
com região de convergência \Re(s)>3.

Resposta

\mathcal{L}\{t-2e^{3t}\} =\frac{1}{s^{2}}-\frac{2}{s-3}, \quad \Re(s)>3.

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