Aplique a definição de transformada de Laplace para encontrar diretamente as transformada de Laplace das funções descritas abaixo.
f(t)=3 t^{5 / 2}-4 t^{3};

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular diretamente a transformada de Laplace da função
f(t)=3\,t^{5/2}-4\,t^{3}
usando a definição
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-s\,t}\,dt.
O conteúdo principal é reconhecer integrais do tipo \int_{0}^{\infty}t^{n}e^{-s t}dt, que se relacionam com a função Gama.

Passo 2

Pela definição de Laplace, escrevemos
\mathcal{L}\{3\,t^{5/2}-4\,t^{3}\}(s) =\int_{0}^{\infty}\bigl(3\,t^{5/2}-4\,t^{3}\bigr)e^{-s t}\,dt =3\int_{0}^{\infty}t^{5/2}e^{-s t}\,dt -4\int_{0}^{\infty}t^{3}e^{-s t}\,dt.

Passo 3

Reconhecemos que, para \Re(s)>0 e n>-1,
\int_{0}^{\infty}t^{n}e^{-s t}\,dt =\frac{\Gamma(n+1)}{s^{n+1}}.
Aqui vamos aplicar com n=\tfrac52 no primeiro termo e n=3 no segundo.

Passo 4

Para o primeiro termo, com n=\tfrac52, temos
\int_{0}^{\infty}t^{5/2}e^{-s t}\,dt =\frac{\Gamma\bigl(\tfrac52+1\bigr)}{s^{5/2+1}} =\frac{\Gamma\bigl(\tfrac{7}{2}\bigr)}{s^{7/2}}.
Para o segundo termo, com n=3,
\int_{0}^{\infty}t^{3}e^{-s t}\,dt =\frac{\Gamma(4)}{s^{4}} =\frac{3!}{s^{4}} =\frac{6}{s^{4}}.

Passo 5

Falta calcular \Gamma\bigl(\tfrac{7}{2}\bigr). Usando a relação \Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x) e \Gamma(\tfrac12)=\sqrt{\pi},
\Gamma\bigl(\tfrac{7}{2}\bigr) =\tfrac{5}{2}\,\Gamma\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr) =\tfrac{5}{2}\cdot\tfrac{3}{2}\,\Gamma\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr) =\tfrac{5}{2}\cdot\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\,\Gamma\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr) =\frac{15}{8}\,\sqrt{\pi}.

Passo 6

Substituindo tudo de volta em \mathcal{L}\{f(t)\}(s):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =3\;\frac{\Gamma\bigl(\tfrac{7}{2}\bigr)}{s^{7/2}} -4\;\frac{6}{s^{4}} =3\;\frac{\tfrac{15}{8}\sqrt{\pi}}{s^{7/2}} -\frac{24}{s^{4}} =\frac{45\sqrt{\pi}}{8\,s^{7/2}}-\frac{24}{s^{4}}.

Resposta

\mathcal{L}\{3\,t^{5/2}-4\,t^{3}\}(s) =\frac{45\sqrt{\pi}}{8\,s^{7/2}}-\frac{24}{s^{4}}.

Exercícios relacionados