Aplique a eliminação gaussiana para produzir os fatores L e U de
A=\left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 8 & 7 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{lll} 3 & 1 & 1 \\\\ 1 & 3 & 1 \\\\ 1 & 1 & 3 \end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 4 & 4 \\\\ 1 & 4 & 8 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a fatoração LU de cada matriz usando eliminação de Gauss sem permutações de linha. Vamos montar uma matriz U triangular superior aplicando pivôs sucessivos e armazenar em L os multiplicadores usados para anular elementos abaixo dos pivôs; em L teremos 1’s na diagonal e, abaixo dela, cada l_{ij} é o fator usado para zerar o elemento a_{ij}.

Passo 2

Fatoração de A=\begin{pmatrix}2&1\\\ 8&7\end{pmatrix}.
Usamos pivô a_{11}=2. O multiplicador para anular a_{21} é
l_{21}=\frac{8}{2}=4.
Aplicando à segunda linha:
\text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 - 4\,\text{linha}_1 \quad\Longrightarrow\quad (8,7)-4\,(2,1)=(0,3).
Logo
U=\begin{pmatrix}2&1\\\ 0&3\end{pmatrix}, \quad L=\begin{pmatrix}1&0\\\ 4&1\end{pmatrix}.

Passo 3

Fatoração de
B=\begin{pmatrix}3&1&1\\\ 1&3&1\\\ 1&1&3\end{pmatrix}.
Pivô b_{11}=3. Multiplicadores:
l_{21}=\frac{1}{3},\quad l_{31}=\frac{1}{3}.
Atualizamos linhas 2 e 3:
(1,3,1)-\tfrac13(3,1,1)=(0,\tfrac{8}{3},\tfrac{2}{3}), \quad (1,1,3)-\tfrac13(3,1,1)=(0,\tfrac{2}{3},\tfrac{8}{3}).
Agora pivô u_{22}=\tfrac{8}{3}. Multiplicador para anular u_{32}:
l_{32}=\frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{8}{3}}=\frac{1}{4}.
Atualizamos terceira linha:
\bigl(0,\tfrac{2}{3},\tfrac{8}{3}\bigr)-\tfrac14\bigl(0,\tfrac{8}{3},\tfrac{2}{3}\bigr) =(0,0,\tfrac{5}{2}).
Portanto
U=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\\\ 0 & \tfrac{8}{3} & \tfrac{2}{3}\\\\ 0 & 0 & \tfrac{5}{2} \end{pmatrix}, \quad L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ \tfrac{1}{3} & 1 & 0\\\ \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4} & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Fatoração de
C=\begin{pmatrix}1&1&1\\\ 1&4&4\\\ 1&4&8\end{pmatrix}.
Pivô c_{11}=1. Multiplicadores:
l_{21}=1,\quad l_{31}=1.
Atualizamos linhas 2 e 3:
(1,4,4)-(1,1,1)=(0,3,3), \quad (1,4,8)-(1,1,1)=(0,3,7).
Pivô u_{22}=3. Multiplicador para a terceira linha:
l_{32}=\frac{3}{3}=1.
Atualizamos linha 3:
(0,3,7)-(0,3,3)=(0,0,4).
Logo
U=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 3\\\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}, \quad L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

Para A:
L_A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 4&1\end{pmatrix}, \quad U_A=\begin{pmatrix}2&1\\\ 0&3\end{pmatrix}.
Para B:
L_B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ \tfrac{1}{3} & 1 & 0\\\ \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4} & 1 \end{pmatrix}, \quad U_B=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\\\ 0 & \tfrac{8}{3} & \tfrac{2}{3}\\\\ 0 & 0 & \tfrac{5}{2} \end{pmatrix}.
Para C:
L_C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad U_C=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 3\\\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.

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