Calcule o produto F G H quando as matrizes forem
F=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right), \quad G=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right), \quad H=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{array}\right) .

Passo 1

O enunciado pede o produto de três matrizes 4\times4, ou seja, calcular
F\,G\,H
onde a multiplicação de matrizes é feita linha vezes coluna. Vamos primeiro multiplicar F por G, obtendo uma matriz intermediária, e depois multiplicar o resultado por H.

Passo 2

Calcular F\,G. As matrizes são
F = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Para cada linha de F e coluna de G fazemos o produto escalar. Por exemplo, a segunda linha de F vezes a segunda coluna de G é
(2,1,0,0)\cdot(0,1,2,0) = 2\cdot0 + 1\cdot1 + 0\cdot2 + 0\cdot0 = 1.
Repetindo para todas as entradas, achamos
F\,G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora multiplicamos o resultado por H, onde
H = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Seja A = F\,G. Cada entrada de A\,H é o produto escalar de uma linha de A por uma coluna de H. Observamos que as três primeiras linhas de A coincidem com as de A\,H, porque H só altera a quarta linha por ter o 2 na posição (4,3). A quarta linha de A\,H é a quarta linha de H. Assim,
A\,H = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

F\,G\,H = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.

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