Determine a equação da reta:
Que passa pelos pontos (-8,1,4) e (3,-2,4).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta em \mathbb{R}^3 que passa pelos pontos A=(-8,1,4) e B=(3,-2,4). Vamos usar que uma reta no espaço é determinada por um ponto e um vetor diretor, que obtemos subtraindo as coordenadas de dois pontos da reta.

Passo 2

Calculamos o vetor diretor \vec{v} como
\vec{v} = \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - (-8),\, -2 - 1,\, 4 - 4) = (11,\,-3,\,0).

Passo 3

Na forma paramétrica, a reta fica
\begin{cases} x = -8 + 11\,t,\\\ y = 1 - 3\,t,\\\ z = 4 + 0\,t = 4, \end{cases}
onde t\in\mathbb{R} é o parâmetro.

Passo 4

Na forma contínua (ou simétrica), como a componente em z é constante, escrevemos
\frac{x + 8}{11} \;=\;\frac{y - 1}{-3} \quad\text{e}\quad z = 4.

Resposta

Equação paramétrica:
\begin{cases} x = -8 + 11\,t,\\\ y = 1 - 3\,t,\\\ z = 4. \end{cases}
Forma contínua:
\frac{x + 8}{11} = \frac{y - 1}{-3},\quad z = 4.

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