(3,0 pontos) Encontre os pontos críticos de f(x, y)=x y(a-x-y), onde a>0, e os classique como pontos de máximo local, mínimo local, sela ou não é possível dizer.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y)=x\,y\,(a - x - y),
com a>0, e classificá-los como máximo local, mínimo local, ponto de sela ou indeterminado. Para isso vamos precisar de derivadas parciais para achar os pontos críticos e da matriz Hessiana para a classificação local.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais.
Em primeiro lugar,
\frac{\partial f}{\partial x} = y\,(a - x - y) + x\,y\cdot(-1) = a\,y -2\,x\,y - y^2
e
\frac{\partial f}{\partial y} = x\,(a - x - y) + x\,y\cdot(-1) = a\,x - x^2 -2\,x\,y.
Os pontos críticos satisfazem
\frac{\partial f}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=0.

Passo 3

Resolvendo
a\,y -2\,x\,y - y^2=0 \quad\Longrightarrow\quad y\,(a - y -2\,x)=0,
a\,x - x^2 -2\,x\,y=0 \quad\Longrightarrow\quad x\,(a - x -2\,y)=0,
temos quatro casos:
  1. x=0 e y=0 → ponto (0,0).
  2. x=0 e a - y=0 → ponto (0,a).
  3. y=0 e a - x=0 → ponto (a,0).
  4. a - y -2x=0 e a - x -2y=0. Destas equações obtém-se
x=y=\frac{a}{3},
logo ponto \bigl(\tfrac{a}{3},\tfrac{a}{3}\bigr).

Passo 4

Para classificar usamos a Hessiana
f_{xx}=-2\,y, \quad f_{yy}=-2\,x, \quad f_{xy}=a -2\,x -2\,y.
Em cada ponto crítico calculamos o determinante
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^2
e verificamos o sinal de f_{xx}:
  • Em (0,0): f_{xx}=0, f_{yy}=0, f_{xy}=a>0, logo D=-a^2<0. Isso indica ponto de sela.
  • Em (a,0): f_{xx}=0, f_{yy}=-2a, f_{xy}=-a, logo D=-a^2<0. Ponto de sela.
  • Em (0,a): f_{xx}=-2a, f_{yy}=0, f_{xy}=-a, logo D=-a^2<0. Ponto de sela.
  • Em \bigl(\tfrac{a}{3},\tfrac{a}{3}\bigr):
f_{xx}=f_{yy}=-\tfrac{2a}{3}, \quad f_{xy}=-\tfrac{a}{3}, \quad D=\frac{4a^2}{9}-\frac{a^2}{9}=\frac{a^2}{3}>0,
e f_{xx}<0, indicando máximo local.

Resposta

Os pontos críticos e suas classificações são: (0,0): ponto de sela. (a,0): ponto de sela. (0,a): ponto de sela. \bigl(\tfrac{a}{3},\tfrac{a}{3}\bigr): máximo local.

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