(3,0 pontos) Encontre os pontos críticos de
, onde
, e os classique como pontos de máximo local, mínimo local, sela ou não é possível dizer.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
com
, e classificá-los como máximo local, mínimo local, ponto de sela ou indeterminado. Para isso vamos precisar de derivadas parciais para achar os pontos críticos e da matriz Hessiana para a classificação local.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais.
Em primeiro lugar,
Em primeiro lugar,
e
Os pontos críticos satisfazem
Passo 3
Resolvendo
temos quatro casos:
-
e → ponto . -
e → ponto . -
e → ponto . -
e . Destas equações obtém-se
logo ponto
.
Passo 4
Para classificar usamos a Hessiana
Em cada ponto crítico calculamos o determinante
e verificamos o sinal de
:
- Em
: , , , logo . Isso indica ponto de sela. - Em
: , , , logo . Ponto de sela. - Em
: , , , logo . Ponto de sela. - Em
:
e
, indicando máximo local.
Resposta
Os pontos críticos e suas classificações são:
: ponto de sela.
: ponto de sela.
: ponto de sela.
: máximo local.