Calcule os fatores L e U para A=\left(\begin{array}{lll}a & a & a \\\ a & b & b \\\ a & b & c\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede a decomposição LU de
A = \begin{pmatrix} a & a & a\\\ a & b & b\\\ a & b & c \end{pmatrix}
ou seja, encontrar L (triangular inferior com uns na diagonal) e U (triangular superior) tais que A=LU. Para isso vamos usar o método de Doolittle, que impõe L_{ii}=1. Assumimos a\neq0, b\neq a e c\neq b para que os pivôs sejam não nulos.

Passo 2

Começamos pelo primeiro pivô U_{11}=a. Em seguida, pelo método,
U_{12}=a,\quad U_{13}=a.
Para a coluna de baixo em L, calculamos
L_{21}=\frac{A_{21}}{U_{11}}=\frac{a}{a}=1, \qquad L_{31}=\frac{A_{31}}{U_{11}}=\frac{a}{a}=1.

Passo 3

Agora formamos o segundo pivô em U. Usamos
U_{22}=A_{22}-L_{21}\,U_{12}=b-1\cdot a=b-a,
U_{23}=A_{23}-L_{21}\,U_{13}=b-1\cdot a=b-a.
E na segunda coluna de L temos
L_{32}=\frac{A_{32}-L_{31}\,U_{12}}{U_{22}} =\frac{\,b-1\cdot a\,}{\,b-a\,} =1.

Passo 4

Por fim calculamos o único elemento restante em U:
U_{33} = A_{33}-L_{31}\,U_{13}-L_{32}\,U_{23} = c - 1\cdot a - 1\cdot(b-a) = c - b.

Resposta

Assim chegamos a
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad U = \begin{pmatrix} a & a & a\\\\ 0 & b-a & b-a\\\\ 0 & 0 & c-b \end{pmatrix}.

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