Aplique a equação que calcula a área de uma superfície S do gráfico de uma função para encontrar a área do paraboloide x = y2 + z2 delimitado pelos planos x = 4 e x = 9. A igual a pi sobre 2 abre parênteses raiz quadrada de 37 ao cubo fim da raiz menos raiz quadrada de 17 ao cubo fim da raiz fecha parênteses A igual a pi abre parênteses raiz quadrada de 37 ao cubo fim da raiz menos raiz quadrada de 17 ao cubo fim da raiz fecha parênteses A igual a pi sobre 6 parêntese esquerdo raiz quadrada de 37 ao cubo fim da raiz menos raiz quadrada de 17 ao cubo fim da raiz parêntese direito A igual a pi sobre 4 abre parênteses raiz quadrada de 37 ao cubo fim da raiz menos raiz quadrada de 17 ao cubo fim da raiz fecha parênteses A igual a 2 pi parêntese esquerdo raiz quadrada de 37 ao cubo fim da raiz menos raiz quadrada de 17 ao cubo fim da raiz parêntese direito
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área de uma superfície do paraboloide dado pela equação $ x = y^2 + z^2 $, limitado pelos planos $ x = 4 $ e $ x = 9 $. Para isso, vamos usar a fórmula que calcula a área de uma superfície de uma função. Vamos precisar entender um pouco de cálculo multivariável, especialmente integrais duplas e coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do paraboloide: $ x = y^2 + z^2 $. Isso significa que para cada valor de $ x $, a seção transversal é um círculo no plano $ yz $ com raio $ r = \sqrt{x} $. Como estamos delimitando $ x $ entre 4 e 9, os raios variam de $ r = \sqrt{4} = 2 $ até $ r = \sqrt{9} = 3 $.
Passo 3
Para calcular a área dessa superfície, vamos usar a fórmula da área de uma superfície parametrizada em coordenadas cilíndricas. A fórmula geral para a área $ A $ de uma superfície dada por $ x = f(r, \theta) $ é:
Mas como nossa função não depende de $ \theta $, a expressão simplifica.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Nossa função é $ x = r^2 $ (já que $ y^2 + z^2 = r^2 $). Então:
Substituindo na fórmula da área:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Agora, resolvemos a integral dupla. Primeiro, integrando em relação a $ \theta $:
Então, a área fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral em $ r $. Fazemos uma substituição para facilitar:
Substituindo na integral:
Passo 7
Integrando $ u^{1/2} $:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A área do paraboloide é