Seja o sólido E delimitado pelas superfícies x squared plus y squared plus z squared equals 9 e x squared plus y squared plus z squared equals 1. Considerando essas informações, analise os itens que seguem. I. O sólido E pode ser descrita em coordenadas esféricas e será II. O volume do sólido E será dado pela integral V equals integral subscript 0 superscript pi integral subscript 0 superscript 2 pi end superscript integral subscript 1 superscript 3 rho squared s e n open parentheses ϕ close parentheses d rho d theta d ϕ III. O volume de E será fraction numerator 104 straight pi over denominator 3 end fraction . Assinale a alternativa correta. Escolha uma: a. Apenas o item I está correto. b. Apenas o item III está correto. c. Apenas o item II está correto. d. Apenas os itens I e II estão corretos. e. Os itens I, II e III estão corretos.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um sólido $ E $ que é delimitado por duas esferas: uma com raio $ 3 $ (já que $ \sqrt{9} = 3 $) e outra com raio $ 1 $. O conteúdo envolve geometria no espaço e cálculo de volumes usando coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar entender como converter as equações das esferas para coordenadas esféricas e como montar a integral para calcular o volume.
Passo 2
Analisando o item I: “O sólido $ E $ pode ser descrita em coordenadas esféricas.”
Nossa primeira pergunta é: será que dá para descrever esse sólido usando coordenadas esféricas? A resposta é sim! Em coordenadas esféricas, uma esfera com centro na origem é descrita por $ \rho = $ constante. Então, temos uma esfera inferior com $ \rho = 1 $ e uma superior com $ \rho = 3 $. Portanto, conseguimos descrever o sólido $ E $ facilmente usando coordenadas esféricas.
Passo 3
Analisando o item II: “O volume do sólido $ E $ será dado pela integral $ V = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{3} \rho^{2} \sin(\phi) , d\rho , d\theta , d\phi $.”
Vamos entender como montar essa integral. Em coordenadas esféricas, o volume é dado por:
Aqui, $ \rho $ vai de $ 1 $ a $ 3 $ (entre as duas esferas), $ \theta $ de $ 0 $ a $ 2\pi $ (em torno do eixo z), e $ \phi $ de $ 0 $ a $ \pi $ (do norte ao sul). A fórmula está correta e representa o volume do sólido $ E $.
Passo 4
Analisando o item III: “O volume de $ E $ será $ \frac{104\pi}{3} $.”
Vamos calcular o volume de $ E $ para verificar se essa afirmação está correta. A integral que já montamos é:
Vamos resolver essa integral passo a passo:
- Integração em $ \rho $:
- Integração em $ \theta $:
- Integração em $ \phi $:
Agora, multiplicando tudo:
Portanto, o volume está correto conforme o item III.
Resposta
e. Os itens I, II e III estão corretos.