Usando interpolação de Lagrange, encontre o valor aproximado de f(3) para os pontos:
(1,1),(2,4),(4,16),(5,25)

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos
(1,1),\;(2,4),\;(4,16),\;(5,25)
e pede f(3) usando interpolação de Lagrange. O conteúdo aqui é construir o polinômio de grau \le3 que passa por esses pontos e avaliar em x=3. Vamos usar a fórmula
f(x)=\sum_{j=0}^{3}y_j\,L_j(x),
onde cada L_j(x) é o polinômio base de Lagrange.

Passo 2

Escrevendo explicitamente para x=3,
f(3) =\sum_{j=0}^{3}y_j\,L_j(3) =1\cdot L_0(3)+4\cdot L_1(3)+16\cdot L_2(3)+25\cdot L_3(3),
com os nós \;x_0=1,\;x_1=2,\;x_2=4,\;x_3=5.

Passo 3

Calculamos cada L_j(3) por
L_j(3) =\prod_{\substack{i=0\i\neq j}}^{3} \frac{3-x_i}{x_j-x_i}.
Assim:
L_0(3) =\frac{(3-2)(3-4)(3-5)}{(1-2)(1-4)(1-5)} =\frac{1\cdot(-1)\cdot(-2)}{(-1)\cdot(-3)\cdot(-4)} =-\tfrac16,
L_1(3) =\frac{(3-1)(3-4)(3-5)}{(2-1)(2-4)(2-5)} =\frac{2\cdot(-1)\cdot(-2)}{1\cdot(-2)\cdot(-3)} =\tfrac{2}{3},
L_2(3) =\frac{(3-1)(3-2)(3-5)}{(4-1)(4-2)(4-5)} =\frac{2\cdot1\cdot(-2)}{3\cdot2\cdot(-1)} =\tfrac{2}{3},
L_3(3) =\frac{(3-1)(3-2)(3-4)}{(5-1)(5-2)(5-4)} =\frac{2\cdot1\cdot(-1)}{4\cdot3\cdot1} =-\tfrac16.

Passo 4

Agora substituímos em f(3):
f(3) =1\cdot\bigl(-\tfrac16\bigr) +4\cdot\tfrac{2}{3} +16\cdot\tfrac{2}{3} +25\cdot\bigl(-\tfrac16\bigr) =\frac{-1+16+64-25}{6} =\frac{54}{6} =9.

Resposta

f(3)=9.

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