Dados os pontos (0,1),(1,0) e (2,5), construa:
(a) O polinômio interpolador na forma base
(b) O mesmo polinômio usando a forma de Newton

Passo 1

O enunciado dá três pontos (0,1), (1,0) e (2,5) e pede o polinômio interpolador de grau <=2 em duas formas: (a) forma base de Lagrange e (b) forma de Newton. Vamos usar a construção de Lagrange para (a) e diferenças divididas para (b).

Passo 2

Na forma base de Lagrange, define-se
L_0(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(0-1)(0-2)},\quad L_1(x)=\frac{(x-0)(x-2)}{(1-0)(1-2)},\quad L_2(x)=\frac{(x-0)(x-1)}{(2-0)(2-1)}.
Calculando:
L_0(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{2},\quad L_1(x)=-\,x(x-2),\quad L_2(x)=\frac{x(x-1)}{2}.

Passo 3

O polinômio de Lagrange é
P(x)=1\cdot L_0(x)+0\cdot L_1(x)+5\cdot L_2(x) =\frac{(x-1)(x-2)}{2}+\frac{5\,x(x-1)}{2}.
Somando termos:
P(x)=\frac{x^2-3x+2+5x^2-5x}{2} =\frac{6x^2-8x+2}{2} =3x^2-4x+1.

Passo 4

Na forma de Newton, usamos as diferenças divididas. Seja x_0=0, x_1=1, x_2=2 e f(x_0)=1, f(x_1)=0, f(x_2)=5.
Primeiras diferenças:
f[x_0,x_1]=\frac{0-1}{1-0}=-1,\quad f[x_1,x_2]=\frac{5-0}{2-1}=5.
Diferença dividida de segunda ordem:
f[x_0,x_1,x_2] =\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{2-0} =\frac{5-(-1)}{2}=3.

Passo 5

O polinômio na forma de Newton fica
P(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1]\,(x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2]\,(x-x_0)(x-x_1),
ou seja
P(x)=1 +(-1)\,x +3\,x(x-1).
Expandindo dá 3x^2 -4x +1, igual ao da forma de Lagrange.

Resposta

(a) Forma base de Lagrange:
P(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{2}+\frac{5\,x(x-1)}{2}=3x^2-4x+1.
(b) Forma de Newton:
P(x)=1 -x +3\,x(x-1).

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