Aplique a fórmula da derivação inversa para calcular a derivada das funções f(x)=\log (x) e f(x)=\ln (x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de \log(x) e \ln(x) usando a fórmula da derivada de função inversa. Vamos usar que, se g é inversa de f, então
(f^{-1})'(x) \;=\;\frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(x)\bigr)}.

Passo 2

Para f(x)=\log(x) (logaritmo na base 10) temos que sua inversa é 10^x. Chamando g(x)=\log(x) e f(x)=10^x, calculamos
f'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(10^t\bigr)=10^t\ln(10).
Aplicando a fórmula da derivada inversa em x:
g'(x)=\frac{1}{f'\bigl(g(x)\bigr)}=\frac{1}{10^{\,\log(x)}\ln(10)} =\frac{1}{x\,\ln(10)}.

Passo 3

Para f(x)=\ln(x) (logaritmo natural) a inversa é e^x. Chamando g(x)=\ln(x) e f(x)=e^x, temos
f'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^t\bigr)=e^t.
Logo, aplicando a fórmula da derivada inversa em x:
g'(x)=\frac{1}{f'\bigl(g(x)\bigr)}=\frac{1}{e^{\,\ln(x)}}=\frac{1}{x}.

Resposta

A derivada de \log(x) é
\frac{d}{dx}\bigl[\log(x)\bigr]=\frac{1}{x\,\ln(10)},
e a derivada de \ln(x) é
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x)\bigr]=\frac{1}{x}.

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