Escreva a fórmula da derivada de função inversa.

Passo 1

O enunciado pede a fórmula da derivada de uma função inversa. O conteúdo aqui é cálculo diferencial, mais especificamente o uso da regra da cadeia para relacionar a derivada de f com a de f^{-1}.

Passo 2

Seja y=f(x) com f invertível e diferenciável, de modo que f^{-1}(y)=x. Como f(f^{-1}(y))=y, derivando ambos os lados em relação a y pela regra da cadeia, temos
\frac{d}{dy}\bigl[f(f^{-1}(y))\bigr] = f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)\,\bigl(f^{-1}\bigr)'(y) =1.
Isolando \bigl(f^{-1}\bigr)'(y), chega-se a
\bigl(f^{-1}\bigr)'(y) =\frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)}.

Resposta

\bigl(f^{-1}\bigr)'(x) =\frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(x)\bigr)}.

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