Use a derivada de f(x)=\ln (x) para calcular as derivadas abaixo:
f(x)=\ln (\operatorname{sen}(x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\bigl(\operatorname{sen}(x)\bigr)
usando a derivada de \ln(x). Para isso vamos aplicar a regra da cadeia, sabendo que
\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}
e que
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x).

Passo 2

Pela regra da cadeia, se f(x)=\ln(u(x)) então
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 3

Aqui temos u(x)=\operatorname{sen}(x), logo
u'(x)=\cos(x)
e, substituindo em f'(x)=u'(x)/u(x), obtém-se
f'(x)=\frac{\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}.

Passo 4

Reconhecendo que \cot(x)=\dfrac{\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}, concluímos
f'(x)=\cot(x).

Resposta

f'(x)=\cot(x)

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